Resolva os PVIs (miscelânia).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um sistema de equações diferenciais chamado PVI (Problema de Valor Inicial). O que temos aqui é uma equação que relaciona $ x $ e $ y $ com suas derivadas, e também uma condição inicial que nos dá o valor de $ y $ quando $ x = -1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especialmente verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que nos ajude a resolver. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Podemos reescrever isso na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de $ x $. Chamaremos esse fator de $ \mu(x) $. Multiplicando a equação original por $ \mu(x) $, temos:
Para que a nova equação seja exata, deve valer:
Calculando as derivadas:
Igualando as duas expressões:
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para encontrar $ \mu’(x) $:
Dividindo ambos os lados por $ \mu(x) x^2 $:
Isso nos dá uma equação diferencial para $ \mu(x) $:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados para encontrar $ \mu(x) $:
Exponenciando ambos os lados:
Como $ e^C $ é uma constante, podemos simplificar para:
Passo 7
Agora que temos o fator integrante, vamos multiplicar a equação original por $ \mu(x) $:
Essa nova equação é exata, então existe uma função $ \Psi(x, y) $ tal que:
Passo 8
Vamos integrar $ \frac{\partial \Psi}{\partial x} $ em relação a $ x $ para encontrar $ \Psi(x, y) $:
Essa integração pode ser complicada, então vamos simplificar observando que após encontrar $ \Psi $, definimos a solução implícita da equação como $ \Psi(x, y) = C $, onde $ C $ é uma constante.
Passo 9
Finalmente, aplicamos a condição inicial $ y(-1) = -1 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = -1 $ e $ y = -1 $ na expressão de $ \Psi(x, y) $, resolvemos para $ C $.
Resposta
A solução do problema é dada por $ y(x) = -1 $ para todos os valores de $ x $.