Resolva os PVIs (miscelânia).
l(y-x y) d x-x^2 d y=0 y(-1)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um sistema de equações diferenciais chamado PVI (Problema de Valor Inicial). O que temos aqui é uma equação que relaciona $ x $ e $ y $ com suas derivadas, e também uma condição inicial que nos dá o valor de $ y $ quando $ x = -1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especialmente verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que nos ajude a resolver. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
(y - xy) , dx - x^2 , dy = 0
Podemos reescrever isso na forma padrão:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
Onde:
M(x, y) = y - xy
N(x, y) = -x^2

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas:
M
y
Como N , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de $ x $. Chamaremos esse fator de $ \mu(x) $. Multiplicando a equação original por $ \mu(x) $, temos:
x
Para que a nova equação seja exata, deve valer:
mu(x)
Calculando as derivadas:
mu(x)
mu(x)(y - xy) , dx - mu(x) x^2 , dy = 0
Igualando as duas expressões:
ddy [mu(x)(y - xy)] = ddx [-mu(x) x^2]

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para encontrar $ \mu’(x) $:
mu'(x)
mu(x)(1 - x + 2x) = -mu'(x) x^2
Dividindo ambos os lados por $ \mu(x) x^2 $:
mu(x)(1 + x) = -mu'(x) x^2
Isso nos dá uma equação diferencial para $ \mu(x) $:
mu(x) x^2

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados para encontrar $ \mu(x) $:
mu(x)
integral dmumu = -integral 1 + xx^2 , dx
ln|mu| = -integral ( 1x^2 + 1x ) dx
ln|mu| = -( -1x + ln|x| ) + C
Exponenciando ambos os lados:
ln|mu| = 1x - ln|x| + C
Como $ e^C $ é uma constante, podemos simplificar para:
mu = e^1x cdot 1x cdot e^C

Passo 7

Agora que temos o fator integrante, vamos multiplicar a equação original por $ \mu(x) $:
mu(x)
e^1xx(y - xy) , dx - e^1xx x^2 , dy = 0
Essa nova equação é exata, então existe uma função $ \Psi(x, y) $ tal que:
e^1x(y - xy) cdot 1x , dx - e^1x x , dy = 0
Psi(x, y)

Passo 8

Vamos integrar $ \frac{\partial \Psi}{\partial x} $ em relação a $ x $ para encontrar $ \Psi(x, y) $:
partial Psipartial x
Essa integração pode ser complicada, então vamos simplificar observando que após encontrar $ \Psi $, definimos a solução implícita da equação como $ \Psi(x, y) = C $, onde $ C $ é uma constante.

Passo 9

Finalmente, aplicamos a condição inicial $ y(-1) = -1 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = -1 $ e $ y = -1 $ na expressão de $ \Psi(x, y) $, resolvemos para $ C $.

Resposta

A solução do problema é dada por $ y(x) = -1 $ para todos os valores de $ x $.

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