Resolva os PVIs sabendo que são EDOs de Bernoulli.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o problema: temos o PVI
com condição inicial
. Esta é uma EDO de Bernoulli, pois pode ser posta na forma
.
Passo 2
Dividindo a equação por
(assumindo
), obtemos a forma padrão de Bernoulli:
Aqui
,
e
.
Passo 3
A EDO de Bernoulli se torna linear após a substituição
. Vamos calcular
. Pela regra da cadeia:
Passo 4
Multiplicamos a equação original na forma padrão por
para expressá-la em termos de
. Assim:
Reconhecemos
e
, resultando na EDO linear:
Passo 5
Para resolver a EDO linear
, usamos o fator integrante
. Multiplicando tudo por
e integrando, obtém-se:
Logo:
Passo 6
Voltando à variável original, como
, temos:
Passo 7
Aplicando a condição inicial
, obtemos:
Elevando ambos os lados ao cubo,
. Como
, escolhemos
, dando
.