Resolva os PVIs sabendo que são EDOs de Bernoulli.
lraizy cdot y^prime+raizy cdot y=1 y(0)=raiz[3]4

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o problema: temos o PVI raizy,y'+raizy,y=1 com condição inicial y(0)=raiz[3]4. Esta é uma EDO de Bernoulli, pois pode ser posta na forma y'+P(x)y=Q(x),y^n.

Passo 2

Dividindo a equação por raizy (assumindo y>0), obtemos a forma padrão de Bernoulli:
y'+y=y^-1/2
Aqui P(x)=1, Q(x)=1 e n=-tfrac12.

Passo 3

A EDO de Bernoulli se torna linear após a substituição z=y^1-n=y^3/2. Vamos calcular z'. Pela regra da cadeia:
z'=tfrac32,y^1/2,y'

Passo 4

Multiplicamos a equação original na forma padrão por tfrac32y^1/2 para expressá-la em termos de z. Assim:
tfrac32y^1/2y'+tfrac32y^3/2=tfrac32y^1/2
Reconhecemos tfrac32y^1/2y'=z' e tfrac32y^3/2=tfrac32z, resultando na EDO linear:
z'+tfrac32z=tfrac32

Passo 5

Para resolver a EDO linear z'+tfrac32z=tfrac32, usamos o fator integrante mu(x)=e^integraltfrac32dx=e^tfrac32x. Multiplicando tudo por mu e integrando, obtém-se:
(z,e^tfrac32x)'=tfrac32e^tfrac32xLongrightarrow z,e^tfrac32x=e^tfrac32x+C
Logo:
z=1+Ce^-tfrac32x

Passo 6

Voltando à variável original, como z=y^3/2, temos:
y(x)=l(1+C e^-tfrac32xr)^2/3

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(0)=4^1/3, obtemos:
(1+C)^2/3=4^1/3
Elevando ambos os lados ao cubo, (1+C)^2=4. Como y>0, escolhemos 1+C=2, dando C=1.

Resposta

y(x)=l(1+e^-tfrac32xr)^2/3.

Exercícios relacionados