Resolva os PVIs (miscelânia).
l4 x^3 y d x+(x^4+2 y) d y=0 y(-2)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse PVI juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
4 x^3 y , dx + (x^4 + 2 y) , dy = 0
E uma condição inicial:
y(-2) = 3
Vamos usar conhecimento de equações diferenciais para encontrar a solução que passa por esse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x.
Aqui, temos:
  • M(x,y) = 4x^3y
  • N(x,y) = x^4 + 2y
Calculando as derivadas:
partial Mpartial y = 4x^3
partial Npartial x = 4x^3
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial F(x,y) tal que dF = 0.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função F(x,y). Para isso, integramos M(x,y) em relação a x:
F(x,y) = integral 4x^3y , dx = y integral 4x^3 , dx = yx^4 + h(y)
Onde h(y) é uma função que depende apenas de y. Para determinar h(y), derivamos F(x,y) em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial Fpartial y = x^4 + h(y) = x^4 + 2y
Isso nos dá:
h(y) = 2y
Integrando novamente:
h(y) = y^2 + C
Então, a função potencial fica:
F(x,y) = x^4y + y^2 = C

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C. Sabemos que quando x = -2, y = 3:
(-2)^4 cdot 3 + 3^2 = C
16 cdot 3 + 9 = C
48 + 9 = 57
C = 57

Passo 5

Com a constante encontrada, a solução geral do PVI é dada pela equação potencial igual a C. Então, substituímos C por 57:
x^4y + y^2 = 57

Resposta

A solução do PVI é x^4 y + y^2 = 57.

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