Resolva os PVIs (miscelânia).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse PVI juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
E uma condição inicial:
Vamos usar conhecimento de equações diferenciais para encontrar a solução que passa por esse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
. Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Integrando novamente:
Então, a função potencial fica:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
:
Passo 5
Com a constante encontrada, a solução geral do PVI é dada pela equação potencial igual a
. Então, substituímos
por
:
Resposta
A solução do PVI é
.