Responda as perguntas sobre o PVI:
l x y^prime+y=0 y(x0)=y0
Para que valores de x0 e y0 o problema:
Terá infinitas soluções ?

Passo 1

O enunciado dá o PVI x,y'+y=0, com condição inicial y(x0)=y0. Isso é uma EDO linear de 1° ordem na forma y'+p(x)y=q(x), onde p(x)=1/x e q(x)=0. Saberemos usar o teorema de existência e unicidade, que exige p e q contínuas perto de x0.

Passo 2

Colocando em forma padrão:
y'+1xy=0
vemos que p(x)=1/x deixa de ser contínua em x=0. Então, se x0neq0, o teorema garante existência e unicidade local — só há uma solução.

Passo 3

Para resolver efetivamente, podemos separar variáveis ou notar que
x,dy+y,dx=d(xy)=0
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xy=CLongrightarrow y=Cx, xneq0

Passo 4

Aplicando y(x0)=y0:
  • Se x0neq0, então C=x0y0 e a solução é única.
  • Se x0=0, o coeficiente 1/x é singular e o teorema não vale. Analisando casos:
    • Se y0neq0, não há forma de ajustar C/x para dar y(0)=y0, logo nenhum PVI válido.
    • Se y0=0, podemos escolher qualquer constante C e definir y(x)=C/x,&xneq0,0,&x=0,
    que satisfaz y(0)=0 e a EDO para xneq0. Assim aparecem infinitas soluções (uma para cada C).

Resposta

O problema terá infinitas soluções exatamente quando x0=0 e y0=0.

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