Resolva os PVIs sabendo que são EDOs homogêneas.
l(yx-e^yx) d x-d y=0 y(1)=4

Passo 1

Temos o PVI dado por
l(yx-e^yxr),dx - dy = 0,
com condição inicial y(1)=4. Trata-se de uma EDO homogênea, pois o coeficiente de dx é função apenas de y/x. Vamos usar a técnica de substituição para resolver.

Passo 2

Reescrevendo a equação diferencial no formato dy/dx = f(y/x), temos
dydx = yx - e^yx

Passo 3

Como o termo do lado direito depende só de y/x, fazemos a substituição v = yx. Daí y = vx e, por derivação, dy/dx = v + x,dv/dx.

Passo 4

Substituindo na EDO:
v + xdvdx = v - e^v
Simplificando, obtemos
xdvdx = -e^v,
ou seja
dvdx = -e^vx

Passo 5

Agora a equação é separável. Separamos variáveis:
e^-v,dv = -dxx
Integrando ambos os lados,
integral e^-v,dv = -integral dxx Longrightarrow -e^-v = -ln|x| + C
que leva a
e^-v = ln|x| + C1

Passo 6

Aplicando a condição inicial: em x=1 temos y=4, logo v(1)=4. Substituindo em e^-v = ln|x| + C1
e^-4 = 0 + C1 Longrightarrow C1 = e^-4
Assim a solução implícita é
e^-y/x = ln x + e^-4
Resolvendo para y, obtemos a forma explícita
y(x) = -xlnl(ln x + e^-4r),
válida para x>0.

Resposta

y(x) = -x lnl(ln x + e^-4r)

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