Resolva os PVIs sabendo que são EDOs homogêneas.
Passo 1
Temos o PVI dado por
com condição inicial
. Trata-se de uma EDO homogênea, pois o coeficiente de
é função apenas de
. Vamos usar a técnica de substituição para resolver.
Passo 2
Reescrevendo a equação diferencial no formato
, temos
Passo 3
Como o termo do lado direito depende só de
, fazemos a substituição
. Daí
e, por derivação,
.
Passo 4
Substituindo na EDO:
Simplificando, obtemos
ou seja
Passo 5
Agora a equação é separável. Separamos variáveis:
Integrando ambos os lados,
que leva a
Passo 6
Aplicando a condição inicial: em
temos
, logo
. Substituindo em
dá
Assim a solução implícita é
Resolvendo para
, obtemos a forma explícita
válida para
.