Resolva os PVI’s a seguir utilizando transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=e^{-t} \operatorname{sec} t, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 5y = e^{-t}\operatorname{sec} t,\quad y(0)=0,\;y'(0)=1,
e pede solução por transformada de Laplace. Vamos transformar a EDO em uma equação algébrica em Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}, usar propriedades de deslocamento e, depois, inverter via decomposição e convolução.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando
\mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\quad \mathcal L\{y'\}=sY(s)-y(0),
obtemos
\bigl[s^2Y(s)-0\cdot s-1\bigr] + 2\bigl[sY(s)-0\bigr] +5Y(s) = \mathcal L\{e^{-t}\operatorname{sec} t\}.
Portanto
(s^2+2s+5)\,Y(s)-1 = F(s),
onde definimos F(s)=\mathcal L\{e^{-t}\operatorname{sec} t\}.

Passo 3

Isolando Y(s) vem
Y(s) = \frac{1 + F(s)}{s^2+2s+5} = \frac{1}{s^2+2s+5} \;+\;\frac{F(s)}{s^2+2s+5}.

Passo 4

Note que
\frac{1}{s^2+2s+5} = \frac{1}{(s+1)^2+2^2}
é transformada de
h(t)=\frac12\,e^{-t}\sin(2t),
pois
\mathcal L\{e^{-t}\sin2t\} =\frac{2}{(s+1)^2+4}.
Logo a primeira parcela em Y(s) inverte para
y_1(t)=\tfrac12\,e^{-t}\sin(2t),
que já satisfaz as condições iniciais.

Passo 5

Para a segunda parcela usamos o teorema da convolução:
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{F(s)}{s^2+2s+5}\Bigr\} = (f*h)(t) =\int_{0}^{t}h(t-\tau)\,f(\tau)\,d\tau,
com
h(t)=\tfrac12 e^{-t}\sin(2t), \qquad f(t)=e^{-t}\operatorname{sec} t.

Passo 6

Portanto o termo particular é
y_2(t) =\int_{0}^{t}\frac12\,e^{-(t-\tau)}\sin\!\bigl(2(t-\tau)\bigr)\;\bigl[e^{-\tau}\operatorname{sec}\tau\bigr]\,d\tau.
Note que e^{-(t-\tau)}\,e^{-\tau}=e^{-t}, logo podemos escrever
y_2(t) =\frac12\,e^{-t}\int_{0}^{t}\sin\!\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,\operatorname{sec}\tau\,d\tau.

Passo 7

Somando homogênea e particular, a solução do PVI é
y(t) =y_1(t)+y_2(t) =\frac12\,e^{-t}\sin(2t) +\frac12\,e^{-t} \int_{0}^{t}\sin\!\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,\operatorname{sec}\tau\,d\tau.

Resposta

\boxed{ y(t) =\frac12\,e^{-t}\sin(2t) +\frac12\,e^{-t} \int_{0}^{t}\sin\!\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,\operatorname{sec}\tau\,d\tau. }

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