integral ln ^2 xx^2 d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Essa questão envolve cálculo de integrais que combinam funções logarítmicas e potências de . Para resolver, vamos usar o método de integração por partes.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Vamos identificar partes da nossa integral que correspondem a e .

Passo 3

Escolhemos:

  • Então, derivando:

  • Integrando:

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln^2 xx^2 , dx = u cdot v - integral v , du = ln^2 x cdot (-1x) - integral (-1x) cdot 2 ln xx , dx
Simplificando:
= -ln^2 xx + 2 integral ln xx^2 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver . Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Escolhemos:

  • Então, derivando:

  • Integrando:

Passo 6

Aplicando a fórmula:
integral ln xx^2 , dx = ln x cdot (-1x) - integral (-1x) cdot 1x , dx
Simplificando:
= -ln xx + integral 1x^2 , dx = -ln xx - 1x + C

Passo 7

Substituindo de volta na equação do Passo 4:
integral ln^2 xx^2 , dx = -ln^2 xx + 2 ( -ln xx - 1x ) + C
Simplificando:
= -ln^2 xx - 2 ln xx - 2x + C

Resposta

A integral é igual a:
-ln^2 xx - 2 ln xx - 2x + C

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