y^prime-p(x) y=g(x)
b) Se g(x) neq 0, supondo que a solução de y^prime-p(x) y=g(x) é da forma
y(x)=C(x) e^-integral p(x) d x
mostre que C(x) deve satisfazer a condição
C^prime(x)=g(x) e^integral p(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, assumindo que a solução de y'-p(x)y=g(x) tem a forma y(x)=C(x)e^-integral p(x),dx, a função C(x) deve satisfazer C'(x)=g(x)e^integral p(x),dx. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar a regra do produto e manipulação de exponenciais.

Passo 2

Começamos derivando y(x)=C(x)e^-I(x), onde definimos I(x)=integral p(x),dx. Aplicando a regra do produto e a cadeia, temos:
y'=C'(x)e^-I(x)+C(x)l(-I'(x)r)e^-I(x)=C'(x)e^-I(x)-p(x)C(x)e^-I(x)

Passo 3

Agora substituímos na equação original y'-p(x)y=g(x). Como y'=C'e^-I-pC e^-I e y=C e^-I, temos:
y'-p y=l[C'(x)e^-I(x)-p(x)C(x)e^-I(x)r]-p(x)l[C(x)e^-I(x)r]=C'(x)e^-I(x)
Para satisfazer y'-p y=g(x) é necessário que
C'(x)e^-I(x)=g(x)

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por e^I(x), obtemos
C'(x)=g(x)e^I(x)=g(x)e^integral p(x),dx,
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

C’(x)=g(x)e^{\int p(x),dx}

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