5 Resolva os PVIs
2 y d x+(x^2+4) d y=0, y(0)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
2,y,dx + (x^2 + 4),dy = 0, y(0)=4
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem e separável: podemos escrever dy/dx isolado e separar variáveis.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada, temos
2,y,dx + (x^2 + 4),dy = 0 ;Longrightarrow; dydx = -,2,yx^2 + 4
Agora separamos as variáveis y e x:
1y,dy = -,2x^2 + 4,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = -2 integral 1x^2 + 4,dx
Sabemos que
integral 1y,dy = ln|y| e integral 1x^2 + 4,dx = 12arctan!l(x2r)
Logo
ln|y| = -2 cdot 12arctan!l(x2r) + C = -,arctan!l(x2r) + C

Passo 4

Exponenciando, obtemos a solução geral
y = e^,ln|y| = e^-,arctan!l(tfracx2r) + C = C1,e^-,arctan!l(tfracx2r),
onde C1 = e^C é constante. Aplicando a condição inicial y(0)=4:
y(0) = C1,e^-arctan(0) = C1cdot e^0 = C1 = 4

Resposta

boxedy(x) = 4,exp!l(-arctan!l(tfracx2r)r)

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