(Função Gama) A função gama é definida pela integral imprópria
(a) Mostre que
, para
.
(b) Mostre que
, para
(c) Seja
, mostre que a transformada de Laplace de
é
, para
.
(d) Assuma que
e mostre que a transformada de Laplace de
é
.
(b) Mostre que
(c) Seja
(d) Assuma que
Passo 1
O enunciado define a função Gama por
e pede:
(a) provar a relação de recorrência ;
(b) deduzir que para
;
(c) mostrar que a transformada de Laplace de é
(a) provar a relação de recorrência
(b) deduzir que
(c) mostrar que a transformada de Laplace de
(d) usando
, obter
.
Passo 2
Para (a), calculamos
Fazendo integração por partes com
,
, obtemos
O termo de fronteira é zero em
e em
, logo
Passo 3
Para (b), note que
.
Usando recursivamente para
, segue por indução
Usando recursivamente
Passo 4
Para (c), a transformada de Laplace é
Fazendo a mudança de variável
, temos
,
, e
Passo 5
Para (d), tome
. Então
Mas
. Logo
Resposta
(a)
.
(b) para
.
(c) .
(d) .
(b)
(c)
(d)