(Função Gama) A função gama é definida pela integral imprópria
\Gamma(p)=\int_{0}^{\infty} t^{p-1} e^{-t} d t, \text { para } p>0
(a) Mostre que \Gamma(p+1)=p \Gamma(p), para p>0.
(b) Mostre que \Gamma(n+1)=n!, para n=1,2,3, \ldots
(c) Seja p>0, mostre que a transformada de Laplace de t^{p} é \Gamma(s) / s^{p+1}, para s>0.
(d) Assuma que \Gamma(1 / 2)=\sqrt{\pi} e mostre que a transformada de Laplace de f(t)=\sqrt{t} é F(s)=\frac{\sqrt{\pi}}{2 s^{3 / 2}}.

Passo 1

O enunciado define a função Gama por
\Gamma(p)=\int_{0}^{\infty}t^{p-1}e^{-t}dt,\quad p>0
e pede:
(a) provar a relação de recorrência \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p);
(b) deduzir que \Gamma(n+1)=n! para n\in\mathbb{N};
(c) mostrar que a transformada de Laplace de t^{p} é
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}},\quad s>0;
(d) usando \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}, obter \mathcal{L}\{\sqrt{t}\}(s).

Passo 2

Para (a), calculamos
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty}t^{(p+1)-1}e^{-t}dt =\int_{0}^{\infty}t^{p}e^{-t}dt.
Fazendo integração por partes com
\displaystyle u=t^{p},\;dv=e^{-t}dt,
\displaystyle du=p\,t^{p-1}dt,\;v=-e^{-t}, obtemos
\Gamma(p+1) =\Bigl[-t^{p}e^{-t}\Bigr]_{0}^{\infty} + p\int_{0}^{\infty}t^{p-1}e^{-t}dt.
O termo de fronteira é zero em 0 e em \infty, logo
\Gamma(p+1)=p\int_{0}^{\infty}t^{p-1}e^{-t}dt =p\,\Gamma(p).

Passo 3

Para (b), note que
\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}dt=1.
Usando recursivamente \Gamma(n+1)=n\,\Gamma(n) para n=1,2,\dots, segue por indução
\Gamma(n+1)=n\,(n-1)\cdots1\,\Gamma(1)=n!\,.

Passo 4

Para (c), a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s) =\int_{0}^{\infty}t^{p}e^{-s t}dt.
Fazendo a mudança de variável u=s t, temos t=u/s, dt=du/s, e
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s) =\int_{0}^{\infty}\Bigl(\frac{u}{s}\Bigr)^{p}e^{-u}\frac{du}{s} =s^{-p-1}\int_{0}^{\infty}u^{p}e^{-u}du =\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}.

Passo 5

Para (d), tome p=\tfrac12. Então
\mathcal{L}\{\sqrt{t}\}(s) =\frac{\Gamma(\tfrac12+1)}{s^{\tfrac12+1}} =\frac{\Gamma(\tfrac32)}{s^{3/2}}.
Mas \Gamma(\tfrac32)=\tfrac12\,\Gamma(\tfrac12)=\tfrac12\,\sqrt{\pi}. Logo
\mathcal{L}\{\sqrt{t}\}(s) =\frac{\tfrac12\sqrt{\pi}}{s^{3/2}} =\frac{\sqrt{\pi}}{2\,s^{3/2}}.

Resposta

(a) \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p).
(b) \Gamma(n+1)=n! para n=1,2,3,\dots.
(c) \mathcal{L}\{t^{p}\}(s)=\dfrac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}.
(d) \mathcal{L}\{\sqrt{t}\}(s)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\,s^{3/2}}.

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