Resolva os PVI’s
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=\sin t, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O problema é o PVI
y'' - 6y' + 8y = \sin t,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
O conteúdo é EDO linear de 2º ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
  1. achar a solução homogênea y_h resolvendo a equação característica;
  2. encontrar uma solução particular y_p por método de coeficientes a determinar;
  3. somar y_h+y_p e aplicar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Equação homogênea associada:
r^2 - 6r + 8 = 0.
As raízes são
r = 2,\quad r = 4.
Logo
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{4t}.

Passo 3

Procuramos y_p na forma
y_p(t) = A\sin t + B\cos t.
Calculamos as derivadas:
y_p' = A\cos t - B\sin t,\qquad y_p'' = -A\sin t - B\cos t.
Substituindo em y''-6y'+8y=\sin t, obtemos
(-A\sin t - B\cos t) -6(A\cos t - B\sin t) +8(A\sin t + B\cos t) = \sin t.
Agrupando os termos de \sin t e de \cos t:
(7A+6B)\sin t +(-6A+7B)\cos t = 1\cdot\sin t +0\cdot\cos t.
Isso gera o sistema
\begin{cases} 7A + 6B = 1,\\\\ -6A +7B = 0. \end{cases}
Resolvendo, achamos
A = \frac{7}{85},\qquad B = \frac{6}{85}.
Portanto
y_p(t) = \frac{7}{85}\sin t + \frac{6}{85}\cos t.

Passo 4

Solução geral
y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{4t} + \frac{7}{85}\sin t + \frac{6}{85}\cos t.
Impondo y(0)=0 e y'(0)=0:
y(0)=C_1 + C_2 + \frac{6}{85}=0,
y'(t)=2C_1 e^{2t} +4C_2 e^{4t} + \frac{7}{85}\cos t - \frac{6}{85}\sin t
y'(0)=2C_1 +4C_2 + \frac{7}{85}=0.
O sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = -\frac{6}{85},\\\\ 2C_1 +4C_2 = -\frac{7}{85} \end{cases}
C_1 = -\frac{1}{10},\quad C_2 = \frac{1}{34}.

Resposta

y(t) = -\frac{1}{10}e^{2t} + \frac{1}{34}e^{4t} + \frac{7}{85}\sin t + \frac{6}{85}\cos t.

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