Qual a transformada de Laplace de F(t)=t \cos (a t), onde a é uma constante.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de F(t)=t\cos(at). O conteúdo principal é usar a propriedade
L\{t\,f(t)\}=-\frac{d}{ds}L\{f(t)\}
para reduzir o problema ao cálculo de L\{\cos(at)\}.

Passo 2

Primeiro, calculamos a transformada de Laplace de \cos(at). Sabemos que
L\{\cos(at)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de derivação em s:
L\{t\cos(at)\}=-\frac{d}{ds}\Bigl(L\{\cos(at)\}\Bigr) =-\frac{d}{ds}\!\biggl(\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\biggr).

Passo 4

Calculamos a derivada:
\frac{d}{ds}\!\biggl(\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\biggr) =\frac{(1)(s^{2}+a^{2})-s(2s)}{(s^{2}+a^{2})^{2}} =\frac{a^{2}-s^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Multiplicando por -1 obtemos
L\{t\cos(at)\} =\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.

Resposta

L\{t\cos(at)\} =\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}},\quad \Re(s)>0.

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