Resolva a questão em seu caderno.
(Fuvest-SP) Considere o sistema: \left\{\begin{array}{l}x-m y=1-m \\\ (1+m) x+y=1\end{array}\right.
a) Prove que o sistema admite solução única para cada número real m. Ver resolução no Guia do professor.
b) Determine m de modo que o valor de x seja o maior possivel. -\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x-m y=1-m,\\[4pt] (1+m) x+y=1, \end{cases}
e pede duas coisas:
  1. (a) Mostrar que o sistema admite solução única para todo número real m.
  2. (b) Determinar o valor de m que torna o valor de x o maior possível.
Informações relevantes dadas: as duas equações acima dependem do parâmetro real m. Não há nenhuma outra condição ou restrição sobre m.]

Passo 2

Para decidir se um sistema linear 2×2 tem solução única usamos o determinante da matriz dos coeficientes. Se a matriz dos coeficientes for
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por \det(A)=ad-bc. O sistema tem solução única se, e somente se, \det(A)\neq 0. Isso vem do Teorema de Cramer e da teoria de sistemas lineares: determinante nulo significa que as equações são linearmente dependentes (possívelmente infinitas ou nenhuma solução); determinante não-nulo significa que as linhas/colunas são independentes e existe uma única solução.

Passo 3

A matriz dos coeficientes do nosso sistema é
A=\begin{pmatrix}1 & -m\\[4pt] 1+m & 1\end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula do determinante:
\det(A)=1\cdot 1 - (-m)\cdot(1+m)=1 + m(1+m).
Simplificando,
\det(A)=m^{2}+m+1.]

Passo 4

Agora precisamos ver para quais m temos \det(A)\neq 0. Considere a quadrática q(m)=m^{2}+m+1. O discriminante dessa quadrática é
\Delta = 1^{2}-4\cdot 1\cdot 1 = 1-4 = -3<0.
Como \Delta<0 e o coeficiente de m^{2} é positivo, a quadrática q(m) é sempre positiva para todo m\in\mathbb{R}. Logo \det(A)=q(m)>0 para todo m\in\mathbb{R}, em particular \det(A)\neq 0 para todo m. Portanto o sistema admite solução única para cada número real m. (Isso responde o item (a).)

Passo 5

Para achar explicitamente x em função de m e depois maximizar, vamos resolver o sistema. Usarei substituição: da segunda equação isolamos y:
(1+m)x+y=1 \quad\Longrightarrow\quad y=1-(1+m)x.
Substituímos esse y na primeira equação:
x-m\bigl(1-(1+m)x\bigr)=1-m.

Passo 6

Desenvolvendo a expressão do Passo 5:
x - m + m(1+m)x = 1-m.
Repare que ambos os lados têm -m; somando m em ambos os lados estes termos se anulam:
x + m(1+m)x = 1.
Colocando x em evidência:
x\bigl(1 + m(1+m)\bigr)=1.
Mas 1 + m(1+m)=m^{2}+m+1 (que já calculamos ser o determinante). Portanto
x=\dfrac{1}{m^{2}+m+1}.

Passo 7

Queremos maximizar x sobre m\in\mathbb{R}. Como x=\dfrac{1}{q(m)} com q(m)=m^{2}+m+1>0, maximizar x é equivalente a minimizar q(m). Para minimizar uma quadrática do tipo m^{2}+m+1 podemos completar o quadrado ou usar a fórmula do vértice.
Completação do quadrado:
m^{2}+m+1 = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)^{2} + 1 -\tfrac{1}{4} = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)^{2} + \tfrac{3}{4}.
Da expressão acima vemos que o termo quadrado é sempre \ge 0, então o mínimo de q(m) ocorre quando \left(m+\tfrac{1}{2}\right)^{2}=0, isto é, em m=-\tfrac{1}{2}. O valor mínimo é
q_{\min} = \tfrac{3}{4}.

Passo 8

Com q_{\min}=\tfrac{3}{4} temos o valor máximo de x:
x_{\max}=\dfrac{1}{q_{\min}}=\dfrac{1}{3/4}=\dfrac{4}{3}.
Portanto x atinge seu valor máximo \tfrac{4}{3} quando m=-\tfrac{1}{2}.

Resposta

(a) O sistema admite solução única para todo m\in\mathbb{R}.
(b) m=-\dfrac{1}{2} (nesse caso x_{\max}=\dfrac{4}{3}).

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