Resolva a questão em seu caderno.
(Fuvest-SP) Considere o sistema:
a) Prove que o sistema admite solução única para cada número real
. Ver resolução no Guia do professor.
b) Determine
de modo que o valor de
seja o maior possivel.
(Fuvest-SP) Considere o sistema:
a) Prove que o sistema admite solução única para cada número real
b) Determine
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede duas coisas:
- (a) Mostrar que o sistema admite solução única para todo número real
. - (b) Determinar o valor de
que torna o valor de o maior possível.
Informações relevantes dadas: as duas equações acima dependem do parâmetro real
. Não há nenhuma outra condição ou restrição sobre
.]
Passo 2
Para decidir se um sistema linear 2×2 tem solução única usamos o determinante da matriz dos coeficientes. Se a matriz dos coeficientes for
o determinante é dado por
. O sistema tem solução única se, e somente se,
. Isso vem do Teorema de Cramer e da teoria de sistemas lineares: determinante nulo significa que as equações são linearmente dependentes (possívelmente infinitas ou nenhuma solução); determinante não-nulo significa que as linhas/colunas são independentes e existe uma única solução.
Passo 3
A matriz dos coeficientes do nosso sistema é
Aplicando a fórmula do determinante:
Simplificando,
Passo 4
Agora precisamos ver para quais
temos
. Considere a quadrática
. O discriminante dessa quadrática é
Como
e o coeficiente de
é positivo, a quadrática
é sempre positiva para todo
. Logo
para todo
, em particular
para todo
. Portanto o sistema admite solução única para cada número real
. (Isso responde o item (a).)
Passo 5
Para achar explicitamente
em função de
e depois maximizar, vamos resolver o sistema. Usarei substituição: da segunda equação isolamos
:
Substituímos esse
na primeira equação:
Passo 6
Desenvolvendo a expressão do Passo 5:
Repare que ambos os lados têm
; somando
em ambos os lados estes termos se anulam:
Colocando
em evidência:
Mas
(que já calculamos ser o determinante). Portanto
Passo 7
Queremos maximizar
sobre
. Como
com
, maximizar
é equivalente a minimizar
. Para minimizar uma quadrática do tipo
podemos completar o quadrado ou usar a fórmula do vértice.
Completação do quadrado:
Da expressão acima vemos que o termo quadrado é sempre
, então o mínimo de
ocorre quando
, isto é, em
. O valor mínimo é
Passo 8
Com
temos o valor máximo de
:
Portanto
atinge seu valor máximo
quando
.
Resposta
(a) O sistema admite solução única para todo
.
(b) (nesse caso
).
(b)