Discuta o sistema abaixo em função dos coeficientes a \mathrm{e} b.
\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{a} y=\mathbf{1} \quad a=-1 \Rightarrow \mathrm{SPD} ; a=b=1 \text { ou } a=b=-1 \Rightarrow \mathrm{SPI} \\\ \boldsymbol{a} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{b} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema com incógnitas x,y\) e parâmetros \(a,b\): \[\begin{cases} x + a y = 1,\\[4pt] a x + y = b. \end{cases}
O que se pede: discutir o sistema em função de a\] e \(b, ou seja, classificar quando o sistema é
\mathrm{SPD} (sistema possível determinado — tem solução única),
\mathrm{SPI} (sistema possível indeterminado — tem infinitas soluções) ou
\mathrm{SI} (sistema impossível — sem solução).
As informações relevantes já presentes: as duas equações lineares com coeficientes simétricos e o vetor de termos constantes (1,b).]

Passo 2

Estratégia e conceito que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Para um sistema linear 2\times2 com matriz de coeficientes A=\begin{pmatrix}1 & a\\[2pt] a & 1\end{pmatrix}, a primeira coisa a calcular é o determinante \Delta=\det(A).
  • Conceito: se \Delta\neq 0, a matriz é invertível e o sistema tem solução única ( \mathrm{SPD}). Se \Delta=0, as equações são linearmente dependentes e precisamos verificar consistência (ou seja, se o vetor de termos constantes está na imagem da matriz) para decidir entre \mathrm{SPI} ou \mathrm{SI}.
  • Fórmula do determinante de uma matriz 2\times2: para M=\begin{pmatrix}p&q\\\ r&s\end{pmatrix}, temos \det(M)=ps-qr. Aplicamos isso a A.]

Passo 3

Calculemos o determinante \Delta da matriz de coeficientes:
\Delta=\det\begin{pmatrix}1 & a\\[2pt] a & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1 - a\cdot a = 1 - a^{2}.
Conclusão imediata: se 1-a^{2}\neq 0, isto é, se a\neq \pm 1, então \Delta\neq0 e o sistema tem solução única ( \mathrm{SPD}). Vamos encontrar essa solução usando a regra de Cramer e explicar cada passo.]

Passo 4

Aplicando Cramer (explicando as matrizes das substituições):
  • Substituímos a primeira coluna pelos termos constantes para obter \Delta_x:
\Delta_x=\det\begin{pmatrix}1 & a\\[2pt] b & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1 - a\cdot b = 1 - a b.
  • Substituímos a segunda coluna pelos termos constantes para obter \Delta_y:
\Delta_y=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] a & b\end{pmatrix}=1\cdot b - 1\cdot a = b - a.
Portanto, quando a\neq \pm 1 (isto é, \Delta=1-a^{2}\neq0), as soluções são
x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{1 - a b}{1 - a^{2}},\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{b - a}{1 - a^{2}}.
Expliquei: \Delta_x e \Delta_y são determinantes obtidos trocando, respectivamente, a coluna dos coeficientes de x ou de y pelo vetor dos termos constantes; dividir pelo \Delta dá a incógnita correspondente.]

Passo 5

Agora tratemos o caso degenerado \Delta=0, ou seja quando a=\pm 1. Nesses casos as duas linhas da matriz de coeficientes são proporcionais e precisamos verificar consistência.
Caso a=1:
  • As equações ficam
x + y = 1,\qquad x + y = b.
  • Se b=1, as duas equações são idênticas e não impõem duas restrições independentes: há infinitas soluções (uma família com um grau de liberdade). Podemos parametrizar, por exemplo, escolhendo y=t livre e obtendo
x=1-t,\qquad y=t,\quad t\in\mathbb{R}.
Logo para a=1,b=1 o sistema é \mathrm{SPI}.
  • Se b\neq 1, as duas equações são contraditórias (uma exige x+y=1 e a outra x+y=b\neq1), portanto não há solução: sistema \mathrm{SI}.

Passo 6

Caso a=-1:
  • As equações ficam
x - y = 1,\qquad -x + y = b.
  • Note que a segunda equação é exatamente -1 vezes a primeira: multiplicando x-y=1 por -1 obtemos -x+y=-1. Assim a segunda equação só é compatível se b=-1.
  • Se b=-1, as duas equações são dependentes e há infinitas soluções. Podemos parametrizar, por exemplo, escolhendo y=t livre e obtendo
x=1+t,\qquad y=t,\quad t\in\mathbb{R}.
Portanto para a=-1,b=-1 o sistema é \mathrm{SPI}.
  • Se b\neq -1, há contradição entre as equações e o sistema é \mathrm{SI}.

Resposta

Para a\neq \pm 1\): \(\mathrm{SPD}\) com \[x=\frac{1 - a b}{1 - a^{2}},\qquad y=\frac{b - a}{1 - a^{2}}.
Para a=1:
\begin{cases} \text{se } b=1:\\ \mathrm{SPI},\text{ soluções }(x,y)=(1-t,t),\\ t\in\mathbb{R},\\[4pt] \text{se } b\neq1:\\ \mathrm{SI}. \end{cases}çõ
Para (a=-1]:
\begin{cases} \text{se } b=-1:\ \mathrm{SPI},\text{ soluções }(x,y)=(1+t,t),\ t\in\mathbb{R},\\[4pt] \text{se } b\neq-1:\ \mathrm{SI}. \end{cases}çõ

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