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(Uece) No sistema linear \left\{\begin{array}{l}x+2 y+z+w=3 \\\ x+y+2 z+w=7 \\\ x+y+z+2 w=9 \\\\ 2 x+y+z+w=5\end{array}\right.
o valor de x+y+z+w é: alternativa d
a) 15
b) \frac{12}{5}
c) \frac{19}{5}
d) \frac{24}{5}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+2y+z+w=3,\\[4pt] x+y+2z+w=7,\\[4pt] x+y+z+2w=9,\\[4pt] 2x+y+z+w=5, \end{cases}
e pergunta qual é o valor de x+y+z+w.
Informações relevantes que temos: as quatro equações lineares completas (cada uma envolve x,y,z,w) e as quatro constantes do lado direito 3,7,9,5. O que queremos é a soma
S := x+y+z+w.]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): em sistemas lineares podemos somar (ou multiplicar e somar) as equações entre si — isso se chama formar combinações lineares das equações. Se somarmos as quatro equações membro a membro, o lado esquerdo será a soma das combinações dos coeficientes de [x,y,z,w) e o lado direito será a soma dos números 3,7,9,5. Não precisamos determinar cada variável separadamente; às vezes essa soma dá diretamente uma equação em S. Isso é eficiente na prova porque é rápido e evita cálculo de cada variável.
Exemplo simples para fixar a ideia: se eu tiver
\begin{cases} a+b=3,\\\ a+b=5, \end{cases}
somando obtenho 2a+2b=8\], ou seja \(2(a+b)=8\Rightarrow a+b=4. Aqui a soma permitiu achar a+b sem achar a e b separadamente.

Passo 3

Agora aplico essa soma ao sistema dado: somo as quatro equações membro a membro. No lado esquerdo, somando as colunas de coeficientes para cada variável obtemos:
(x+x+x+2x) + (2y+y+y+y) + (z+2z+z+z) + (w+w+2w+w).
Agrupando, cada variável aparece com coeficiente total igual a 5. Logo o lado esquerdo vira 5x+5y+5z+5w. No lado direito somamos os números:
3+7+9+5 = 24.
Portanto, em forma única display:
5x+5y+5z+5w = 24.

Passo 4

Fatorando 5 no lado esquerdo obtemos
5(x+y+z+w) = 24.
Lembre que definimos S := x+y+z+w. Assim
5S = 24.
Agora isolamos S dividindo ambos os lados por 5:
S = \frac{24}{5}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida: \dfrac{24}{5}=4{,}8. Não é necessário encontrar x,y,z,w individualmente; a soma está determinada apenas pelas equações como mostramos. Isso coincide com a alternativa indicada (d).

Resposta

\dfrac{24}{5}

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