Resolva o sistema: \left\{\begin{array}{l}2^{x}=8^{y+1} \\\\ 9^{y}=3^{x-9} \quad S=\{(21,6)\}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2^{x}=8^{y+1}\\[4pt] 9^{y}=3^{x-9} \end{cases}
ou seja, encontrar todos os pares ordenados (x,y) (números reais) que satisfazem as duas equações simultaneamente. As informações dadas são exatamente as duas igualdades exponenciais acima.]

Passo 2

Antes de manipular as equações, vamos lembrar duas propriedades básicas de potências que usaremos o tempo todo:
\text{(1) } (a^{b})^{c}=a^{bc}.
Isto significa que quando temos uma potência de uma potência, multiplicamos os expoentes. Por exemplo, (2^{3})^{4}=2^{3\cdot4}=2^{12}.
\text{(2) } \text{Se }a>0\text{ e }a\neq1,\text{ então }a^{u}=a^{v}\Rightarrow u=v.ã
Isto vale porque a função t\mapsto a^{t} é injetora nesse caso (cada expoente distinto dá um valor distinto). Exemplo: se 2^{u}=2^{v} então u=v.
Vamos aplicar essas duas propriedades para transformar as equações do sistema em igualdades entre expoentes (ou seja, em equações lineares).

Passo 3

Trabalhando a primeira equação:
2^{x}=8^{y+1}.
Observe que 8=2^{3}. Então, usando (1),
8^{y+1}=(2^{3})^{y+1}=2^{3(y+1)}.
Como agora temos potências com a mesma base 2 (base positiva diferente de 1), pela propriedade (2) podemos igualar os expoentes:
x=3(y+1).
Desenvolvendo o produto no lado direito temos
x=3y+3.

Passo 4

Trabalhando a segunda equação:
9^{y}=3^{x-9}.
Observe que 9=3^{2}. Aplicando (1),
9^{y}=(3^{2})^{y}=3^{2y}.
Agora as duas potências têm a mesma base 3, então, pela propriedade (2),
2y=x-9.
Isolando x obtém-se
x=2y+9.

Passo 5

Agora reduzimos o problema a resolver o sistema linear formado pelas duas expressões para x\): \[\begin{cases} x=3y+3,\\[4pt] x=2y+9. \end{cases}
Como ambas valem x\], igualamos os lados direitos: \[3y+3=2y+9.\] Subtraindo \(2y de ambos os lados:
y+3=9.
Subtraindo 3:
y=6.
Agora substituímos y em qualquer das expressões para x. Usando x=3y+3:
x=3\cdot 6+3=18+3=21.
(Verificação rápida com a outra expressão: x=2y+9=2\cdot6+9=12+9=21, mesma coisa.)]

Passo 6

Verificação final substituindo (x,y)=(21,6) nas equações originais para garantir que realmente satisfazem o sistema.
Primeira equação:
2^{21}\stackrel{?}{=}8^{6+1}=8^{7}.
Como 8^{7}=(2^{3})^{7}=2^{21}, a igualdade é verdadeira.
Segunda equação:
9^{6}\stackrel{?}{=}3^{21-9}=3^{12}.
Como 9^{6}=(3^{2})^{6}=3^{12}, a igualdade também é verdadeira.
Portanto (21,6) satisfaz ambas as equações.

Passo 7

Conclusão sobre unicidade: ao reduzir o sistema exponencial a igualdades entre expoentes obtemos um sistema linear que teve solução única (x,y)=(21,6). Pela propriedade de injetividade das exponenciais (usada acima), não há outras soluções reais possíveis. Logo o conjunto solução é único e é \{(21,6)\}.

Resposta

(21,6)

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