Resolva as questões abaixo:
c) Uma pessoa de 1,64 m de altura observa o topo de uma árvore sob um ângulo de
com a horizontal. Conhecendo a distância de 6 m do observador até a árvore, calcule a altura da árvore. Considere
0,58 .
c) Uma pessoa de 1,64 m de altura observa o topo de uma árvore sob um ângulo de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo.
-
Dados fornecidos:
- A altura da pessoa (do olho até o chão) é
. - O ângulo entre a linha de visão ao topo da árvore e a horizontal é
. - A distância horizontal entre o observador e a árvore é
. - Foi fornecido
.
- A altura da pessoa (do olho até o chão) é
-
O que é pedido:
- Calcular a altura da árvore (em metros).
Passo 2
Vamos identificar geometricamente o que está acontecendo. Imagine um triângulo retângulo formado pela linha horizontal do observador até a base da árvore (cateto adjacente), a linha desde o olho do observador até o topo da árvore (hipotenusa) e a diferença de altura entre o topo da árvore e os olhos do observador (cateto oposto).
Definimos as incógnitas e variáveis:
- Seja
a altura total da árvore (o que queremos). - A altura dos olhos do observador é
. - A diferença de altura entre o topo da árvore e os olhos é
. - A distância horizontal (cateto adjacente) é
. - O ângulo no ponto do observador, entre a horizontal e a linha de visão ao topo, é
.
Passo 3
Revisão didática do conceito usado: definição de tangente num triângulo retângulo.
- Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
- Em símbolos:
. - Aqui, para
, o cateto oposto é e o cateto adjacente é . Logo podemos usar essa definição para relacionar as quantidades do problema.
Passo 4
Escrevendo a equação a partir da definição de tangente aplicada ao problema:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 5
Agora resolvemos a equação para
. Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Calculando o produto
:
-
.
Logo:
Passo 6
Agora somamos
em ambos os lados para obter
:
Fazendo a adição passo a passo:
Portanto
.
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida:
- A diferença de altura
deu . Faz sentido: com ângulo pequeno ( ) e distância , a subida não é enorme. - A unidade permanece metros, então a altura final é
.
Vai dar certo na prova: lembre-se sempre de desenhar o triângulo, identificar catetos e usar
quando o que você conhece é ângulo + cateto adjacente e quer o oposto (ou vice‑versa). Força aí — já já você domina esses problemas!