Resolva as questões abaixo:
c) Uma pessoa de 1,64 m de altura observa o topo de uma árvore sob um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal. Conhecendo a distância de 6 m do observador até a árvore, calcule a altura da árvore. Considere \operatorname{tg} 30^{\circ}= 0,58 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo.
  • Dados fornecidos:
    • A altura da pessoa (do olho até o chão) é \,1,64\\ \text{m}.
    • O ângulo entre a linha de visão ao topo da árvore e a horizontal é \,30^\circ.
    • A distância horizontal entre o observador e a árvore é \,6\\ \text{m}.
    • Foi fornecido \,\operatorname{tg}30^\circ=0,58.
  • O que é pedido:
    • Calcular a altura da árvore (em metros).

Passo 2

Vamos identificar geometricamente o que está acontecendo. Imagine um triângulo retângulo formado pela linha horizontal do observador até a base da árvore (cateto adjacente), a linha desde o olho do observador até o topo da árvore (hipotenusa) e a diferença de altura entre o topo da árvore e os olhos do observador (cateto oposto).
Definimos as incógnitas e variáveis:
  • Seja \,h a altura total da árvore (o que queremos).
  • A altura dos olhos do observador é \,1,64\\ \text{m}.
  • A diferença de altura entre o topo da árvore e os olhos é \,h-1,64.
  • A distância horizontal (cateto adjacente) é \,6\\ \text{m}.
  • O ângulo no ponto do observador, entre a horizontal e a linha de visão ao topo, é \,30^\circ.

Passo 3

Revisão didática do conceito usado: definição de tangente num triângulo retângulo.
  • Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
  • Em símbolos: \displaystyle \operatorname{tg}\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
  • Aqui, para \theta=30^\circ, o cateto oposto é \,h-1,64 e o cateto adjacente é \,6. Logo podemos usar essa definição para relacionar as quantidades do problema.

Passo 4

Escrevendo a equação a partir da definição de tangente aplicada ao problema:
\operatorname{tg}30^\circ=\frac{h-1,64}{6}.
Sabemos que \operatorname{tg}30^\circ=0,58, então substituímos:
0,58=\frac{h-1,64}{6}.

Passo 5

Agora resolvemos a equação para h. Multiplicamos ambos os lados por \,6 para isolar h-1,64:
6\cdot 0,58 = h-1,64.
Calculando o produto \,6\cdot 0,58:
  • 6\times 0,58 = 6\times 0,50 + 6\times 0,08 = 3,00 + 0,48 = 3,48.
Logo:
3,48 = h-1,64.

Passo 6

Agora somamos \,1,64 em ambos os lados para obter h:
h = 3,48 + 1,64.
Fazendo a adição passo a passo:
  • 3,48 + 1,64 = (3 + 1) + (0,48 + 0,64) = 4 + 1,12 = 5,12.
Portanto h = 5,12\\ \text{m}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • A diferença de altura (h-1,64) deu 3,48\\ \text{m}. Faz sentido: com ângulo pequeno ( 30^\circ) e distância \,6\\ \text{m}, a subida não é enorme.
  • A unidade permanece metros, então a altura final é \,5,12\\ \text{m}.
Vai dar certo na prova: lembre-se sempre de desenhar o triângulo, identificar catetos e usar \operatorname{tg} quando o que você conhece é ângulo + cateto adjacente e quer o oposto (ou vice‑versa). Força aí — já já você domina esses problemas!

Resposta

5,12\\ \text{m}

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