Resolva as questões colocando todas as passagens e todos os detalhes.
^a Questão. (30 pontos) Encontre a solução geral da EDO
x^2 y^prime prime+5 x y^prime+4 y=0, x>0

Passo 1

Estamos diante de uma equação de Euler–Cauchy
x^2y''+5xy'+4y=0, x>0
para resolver, vamos usar a técnica de tentar uma solução do tipo y=x^m. Isso transforma a EDO em uma equação algébrica para m.

Passo 2

Supondo y=x^m, calculamos as derivadas:
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2
Substituindo em
x^2y''+5xy'+4y=0
temos
x^2l[m(m-1)x^m-2r]+5xl[mx^m-1r]+4x^m=0
Fatorando x^m (e como x>0, x^mneq0), sobra a equação característica:
m(m-1)+5m+4=0

Passo 3

Desenvolvendo a característica:
m^2-m+5m+4 = m^2+4m+4 =0
observe que é um trinômio quadrado perfeito,
(m+2)^2=0
logo temos raiz dupla
m=-2

Passo 4

Quando a raiz m=-2 é dupla, a solução geral da EDO de Euler–Cauchy é
y = C1,x^-2 + C2,x^-2ln(x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

boxedy(x)=C1,x^-2+C2,x^-2ln(x), C1,C2inR

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