Questão 04
Represente a função abaixo como uma série de potências, utilizando a derivação da série geométrica, e determine seu raio de convergência:
Passo 1
O enunciado pede para escrever a função
como uma série de potências, usando a derivação da série geométrica, e encontrar seu raio de convergência. Vamos trabalhar com a série geométrica básica e depois derivar term a term para chegar em
.
Passo 2
Começamos da série geométrica conhecida:
Passo 3
Derivando ambos os lados em relação a
, temos
e
Portanto
Passo 4
Multiplicando a expressão acima por
, obtemos
Logo, a série de potências para
é
Passo 5
Como essa série foi obtida a partir da série geométrica com raio de convergência
, o intervalo de convergência continua sendo
. Portanto, o raio de convergência é