Questão 04

Represente a função abaixo como uma série de potências, utilizando a derivação da série geométrica, e determine seu raio de convergência:
f(x)=x(1-x)^2

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função
f(x)=x(1-x)^2
como uma série de potências, usando a derivação da série geométrica, e encontrar seu raio de convergência. Vamos trabalhar com a série geométrica básica e depois derivar term a term para chegar em f(x).

Passo 2

Começamos da série geométrica conhecida:
11 - x ;=;sumn=0^infty x^n, |x|<1

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x, temos
ddxl(tfrac11-xr) =1(1-x)^2
e
ddxl(sumn=0^infty x^nr) =sumn=1^inftyn,x^n-1
Portanto
1(1-x)^2 =sumn=1^inftyn,x^n-1

Passo 4

Multiplicando a expressão acima por x, obtemos
x(1-x)^2 =x sumn=1^inftyn,x^n-1 =sumn=1^inftyn,x^n
Logo, a série de potências para f(x) é
f(x)=sumn=1^inftyn,x^n

Passo 5

Como essa série foi obtida a partir da série geométrica com raio de convergência 1, o intervalo de convergência continua sendo |x|<1. Portanto, o raio de convergência é
R=1

Resposta

f(x)=sumn=1^inftyn,x^n, R=1

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