Resolva as questões colocando todas as passagens e todos os detalhes.
^a Questão. (35 pontos) Use fator integrante para achar a solução geral da EDO
y^prime-y=1+3 sen t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - y = 1 + 3sin t
usando o método do fator integrante. O conteúdo necessário é: identificar que é uma EDO da forma
y' + p(t),y = q(t),
onde p(t)=-1, calcular o fator integrante
mu(t)=expl(integral p(t),dtr), transformar o lado esquerdo em derivada de mu(t)y e então integrar o lado direito.

Passo 2

Como p(t)=-1, o fator integrante é
mu(t)=e^integral -1,dt=e^-t
Multiplicando a equação original por mu(t) obtemos
e^-ty' - e^-ty = e^-tl(1+3sin tr)

Passo 3

Repare que o lado esquerdo é a derivada do produto e^-ty, pois
ddtl(e^-tyr) = e^-ty' + l(-e^-tr)y = e^-ty' - e^-ty
Logo a equação fica
ddtl(e^-tyr) = e^-t + 3,e^-tsin t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^-ty = integral e^-t,dt ;+; 3integral e^-tsin t,dt ;+; C

Passo 5

Calcular integral e^-t,dt. Basta notar que
integral e^-t,dt = -,e^-t

Passo 6

Calcular I = integral e^-tsin t,dt por partes duas vezes. Escolhendo u=sin t, dv=e^-tdt obtemos após as duas integrações por partes e reorganização
I = -e^-t2l(sin t + cos tr)

Passo 7

Substituindo na expressão de e^-ty temos
e^-ty = -e^-t + 3!(-e^-t2(sin t + cos t)) + C = -e^-t - 3e^-t2(sin t + cos t) + C
Multiplicando por e^t para isolar y:
y = -1 - 32l(sin t + cos tr) + Ce^t

Resposta

A solução geral da EDO é
y(t) = Ce^t ;-;1 ;-;tfrac32l(sin t + cos tr),
onde C é constante arbitrária.

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