Resolva as questões colocando todas as passagens e todos os detalhes.
Questão. (35 pontos) Use fator integrante para achar a solução geral da EDO
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
usando o método do fator integrante. O conteúdo necessário é: identificar que é uma EDO da forma
onde
, calcular o fator integrante
, transformar o lado esquerdo em derivada de
e então integrar o lado direito.
Passo 2
Como
, o fator integrante é
Multiplicando a equação original por
obtemos
Passo 3
Repare que o lado esquerdo é a derivada do produto
, pois
Logo a equação fica
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Calcular
. Basta notar que
Passo 6
Calcular
por partes duas vezes. Escolhendo
,
obtemos após as duas integrações por partes e reorganização
Passo 7
Substituindo na expressão de
temos
Multiplicando por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
é constante arbitrária.