Resolva as questões colocando todas as passagens e todos os detalhes.
^a Questão. ( 3 5 pontos) Considere a equação diferencial (2 x-y)+(2 y-x) d yd x=0, com condição inicial y(1)=3. Encontre a solução do PVI e diga qual é o intervalo de validade da solução.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x - y) + (2y - x),dydx = 0
com condição inicial y(1)=3. Aqui identificamos
M(x,y)=2x - y, N(x,y)=2y - x,
e vemos que se trata de uma equação exata. Nosso objetivo é achar uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M, partial psipartial y=N

Passo 2

Verificamos a exatidão:
partial Mpartial y=-1, partial Npartial x=-1,
como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M em relação a x:
integral(2x - y),dx = x^2 - x,y + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Assim propomos
psi(x,y)=x^2 - x,y + h(y)

Passo 4

Impondo partial psi/partial y=N, temos
partial psipartial y =-x + h'(y) stackrel!=2y - x
logo
h'(y)=2y Longrightarrow h(y)=y^2
Portanto
psi(x,y)=x^2 - x,y + y^2 = C
é a solução implícita geral da EDO.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial (x,y)=(1,3):
1^2 - 1cdot 3 + 3^2 =1 -3 +9=7,
logo C=7. A relação implícita do PVI é
x^2 - x,y + y^2 = 7

Passo 6

Para obter y(x) explicitamente, tratamos como equação quadrática em y:
y^2 - x,y + (x^2 - 7)=0
Pela fórmula de Bhaskara,
y=xpmraizx^2 - 4(x^2 -7)2 =xpmraiz28 - 3x^22

Passo 7

Escolhemos o sinal que satisfaz y(1)=3. Em x=1 a raiz é
raiz28 - 3cdot1^2=raiz25=5,
e
y(1)=1pm52
só dá 3 com o sinal +. Logo
y(x)=x + raiz28 - 3x^22

Passo 8

Para a solução ser real e contínua, precisamos
28 - 3x^2>0 Long<=ftrightarrow x^2<283 Long<=ftrightarrow |x|<raiz283=2raiz213
O intervalo de validade maximal que contém x=1 é
l(-tfrac2raiz213,,tfrac2raiz213r)

Resposta

y(x)=x + raiz28 - 3x^22, xinl(-tfrac2raiz213,,tfrac2raiz213r)

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