Resolva as questões colocando todas as passagens e todos os detalhes.
Questão. (
pontos) Considere a equação diferencial
, com condição inicial
. Encontre a solução do PVI e diga qual é o intervalo de validade da solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
. Aqui identificamos
e vemos que se trata de uma equação exata. Nosso objetivo é achar uma função potencial
tal que
Passo 2
Verificamos a exatidão:
como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar. Assim propomos
Passo 4
Impondo
, temos
logo
Portanto
é a solução implícita geral da EDO.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
logo
. A relação implícita do PVI é
Passo 6
Para obter
explicitamente, tratamos como equação quadrática em
:
Pela fórmula de Bhaskara,
Passo 7
Escolhemos o sinal que satisfaz
. Em
a raiz é
e
só dá
com o sinal
. Logo
Passo 8
Para a solução ser real e contínua, precisamos
O intervalo de validade maximal que contém
é