Analisar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 2^nn^10.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty2^nn^10,
que é uma série de termos positivos. Para séries que misturam crescimento exponencial e decaimento polinomial, o teste da razão é uma boa ferramenta.

Passo 2

Definimos
an = 2^nn^10
e aplicamos o teste da razão, que exige o cálculo de
an+1an

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 2^n+1/(n+1)^102^n/n^10 = 2;n^10(n+1)^10 =2(nn+1)^10

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty2(nn+1)^10 =2cdot1 =2
Como esse limite é maior que 1, o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftytfrac2^nn^10 diverge pelo teste da razão, pois
limntoinftyan+1an=2>1

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