Resolva as questões a seguir:
\int 2 x \cdot \cos \left(x^{2}\right) \cdot d x (integral por substituição)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \int 2x \cos(x^2)\, d x usando substituição. O conteúdo é integração por substituição, onde vamos reconhecer uma função composta cuja derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Definimos a mudança de variável
u = x^2.
Calculando a diferencial, obtemos
d u = 2x\, d x,
o que nos permite substituir 2x\, d x por d u.

Passo 3

Aplicando a substituição no integrando, temos
\int 2x \cos(x^2)\, d x = \int \cos(u)\, d u.

Passo 4

Agora integramos em relação a u. A primitiva de \cos(u) é \sin(u), logo
\int \cos(u)\, d u = \sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, substituímos u = x^2, obtendo
\sin(u) + C = \sin(x^2) + C.

Resposta

\sin(x^2) + C

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