Seja f: R R a função definida por f(x)=-3 a^x onde a in R, 0. Sobre as informações:
i. f(x+y)=f(x) cdot f(y), forall x, y in R.
ii. f é bijetora.
iii. f é crescente e f(] 0,+infty[)=]-3,0[.
Podemos concluir que: apenas as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras.

Passo 1

Enunciado resumido: temos a função f: Rto R dada por f(x)=-3a^x com 0. Precisamos checar as afirmações sobre composição exponencial, bijetividade, monotonicidade e imagem em ]0,+infty[.

Passo 2

Para (i): componer f(x+y) e f(x)·f(y). Temos
f(x+y)=-3a^x+y
enquanto
f(x)cdot f(y)=(-3a^x)(-3a^y)=9a^x+y
Logo f(x+y)neq f(x)f(y). A afirmação (i) é falsa.

Passo 3

Para (ii): examinamos injetividade e sobrejetividade. Como a^x>0 e ln a<0,
f'(x)=-3a^xln a>0
logo f é estritamente crescente e, portanto, injetora. Mas
limxto-inftyf(x)=-infty, limxto+inftyf(x)=0^-,
então a imagem é R, não todo . Logo não é sobrejetora nem bijetora. A afirmação (ii) é falsa.

Passo 4

Para (iii): já vimos que f'(x)>0, então f é crescente. Além disso, para x>0 temos 0, portanto
-3
e como xto0^+ e xto+infty os extremos cobrem (-3,0). Assim f(]0,+infty[)=(-3,0). A afirmação (iii) é verdadeira.

Resposta

Apenas a afirmação (iii) é verdadeira.

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