Resolva, em R, as inequaçōes:
x^3-2 x^2-x+2>0

Passo 1

A questão pede para resolver, em R, a inequação polinomial de terceiro grau x^3 - 2x^2 - x + 2 > 0. O assunto aqui é inequações polinomiais, e vamos precisar fatorar o polinômio para encontrar as raízes e depois usar o critério de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar x^3 - 2x^2 - x + 2 por agrupamento de termos. Observa que dá para escrever:
x^3 - 2x^2 - x + 2 = x^2(x - 2) - 1(x - 2)
Assim, fatorando o fator comum x - 2, temos:
= (x - 2)(x^2 - 1)
E finalmente reconhecemos x^2 - 1 como diferença de quadrados:
= (x - 2)(x - 1)(x + 1)

Passo 3

Agora que temos a forma fatorada (x - 2)(x - 1)(x + 1), as raízes são x = 2, 1, -1. Em inequações, montamos o quadro de sinais dividindo a reta nessas raízes e testando o sinal em cada intervalo.
Nos intervalos:
  • Para x < -1, por exemplo x=-2, cada fator dá ( -2 -2)(-2 -1)(-2+1)=(-4)(-3)(-1)<0, então o polinômio é negativo.
  • Para -1 < x < 1, por exemplo x=0, cada fator dá (0-2)(0-1)(0+1)=(-2)(-1)(1)>0, então é positivo.
  • Para 1 < x < 2, por exemplo x=1.5, temos (1.5-2)(1.5-1)(1.5+1)=(-0.5)(0.5)(2.5)<0, negativo.
  • Para x > 2, por exemplo x=3, temos (3-2)(3-1)(3+1)=(1)(2)(4)>0, positivo.

Passo 4

Como queremos x^3 - 2x^2 - x + 2 > 0, selecionamos os intervalos em que o produto é positivo.
Os zeros -1,1,2 não entram porque a desigualdade é estrita.

Resposta

(-1,1) cup (2,infty)

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