Resolva, em R, as seguintes equações exponenciais:
\sqrt[3]{3^{x-5}}=\frac{1}{27}

Passo 1

O enunciado pede que se resolva, em \mathbb{R}, a equação
\sqrt[3]{3^{x-5}}=\frac{1}{27}.
Informações dadas:
  • A expressão à esquerda é a raiz cúbica de 3^{x-5}.
  • O lado direito é o número \tfrac{1}{27}.
    O objetivo é encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Vamos lembrar de duas propriedades fundamentais de potências que usaremos:
  • A raiz cúbica pode ser escrita como potência de expoente \tfrac{1}{3}: \sqrt[3]{a}=a^{1/3}.
  • Potência de potência: (a^{m})^{n}=a^{mn}.
    Essas regras valem para qualquer base positiva a (aqui a=3, que é positiva e diferente de 1).

Passo 3

Aplicando a escrita da raiz cúbica como potência à expressão da esquerda:
\sqrt[3]{3^{x-5}}=(3^{x-5})^{1/3}.
Usando a regra (a^{m})^{n}=a^{mn}, obtemos
(3^{x-5})^{1/3}=3^{(x-5)\cdot\frac{1}{3}}=3^{\frac{x-5}{3}}.

Passo 4

Reescrevendo o lado direito como potência da base 3: 27=3^{3}, logo
\frac{1}{27}=3^{-3}.
Portanto a equação original fica
3^{\frac{x-5}{3}}=3^{-3}.

Passo 5

Como a função exponencial 3^{t} é injetora (ou seja, para base fixa 3>0, 3^{a}=3^{b} implica a=b), podemos igualar os expoentes:
\frac{x-5}{3}=-3.

Passo 6

Resolver a equação linear em x:
\frac{x-5}{3}=-3 \quad\Longrightarrow\quad x-5=-9 \quad\Longrightarrow\quad x=-9+5=-4.

Passo 7

Cheque rápido por substituição para garantir que não houve erro: com x=-4 temos x-5=-9, então
\sqrt[3]{3^{x-5}}=\sqrt[3]{3^{-9}}=(3^{-9})^{1/3}=3^{-3}=\frac{1}{27},
que coincide com o lado direito. Portanto x=-4 realmente é solução.

Resposta

x=-4

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