Resolva, em R, as seguintes equações exponenciais:
\sqrt[5]{2^{x}}=\frac{1}{32}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Tem-se a equação
\sqrt[5]{2^{x}}=\frac{1}{32}.
Pergunta: encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes que já estamos vendo no enunciado:
  • O radicando é 2^{x}.
  • O índice do radical é 5.
  • O segundo membro é \dfrac{1}{32}, que pode ser escrito como potência de 2 (porque 32=2^{5}).

Passo 2

Transformar a raiz em potência usando a propriedade de expoentes. Regra: para a>0, m\in\mathbb{R} e n\in\mathbb{N} tem-se
\sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n}.
Aqui a=2, m=x e n=5, portanto
\sqrt[5]{2^{x}}=2^{x/5}.
Comentário rápido: isso vem da definição de expoente fracionário; por exemplo \sqrt[3]{8}=8^{1/3}=2 porque 8=2^{3} e 8^{1/3}=2^{3\cdot(1/3)}=2.

Passo 3

Reescrever o segundo membro como potência de base 2. Observa-se que 32=2^{5}, logo
\frac{1}{32}=(2^{5})^{-1}=2^{-5}.

Passo 4

Substituir as reescritas na equação original. A equação fica
2^{x/5}=2^{-5}.

Passo 5

Usar o fato de que a função exponencial a^{t} (com a>0 e a\neq1) é injetora: se a^{u}=a^{v} então u=v. Aqui a base é 2>0 e 2\neq1, logo podemos igualar os expoentes:
\frac{x}{5}=-5.

Passo 6

Resolver a equação linear obtida. Multiplicando ambos os lados por 5:
x=-5\cdot 5=-25.

Passo 7

Verificação rápida: substituir x=-25 na expressão inicial:
\sqrt[5]{2^{-25}}=2^{-25/5}=2^{-5}=\frac{1}{32},
portanto a solução está correta.

Resposta

-25

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