Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y}{x}}, \quad x>0, y>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y}{x}}, \qquad x>0,\\ y>0.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação relaciona dy/dx com \dfrac{y}{x}.
  • O domínio é x>0 e y>0, portanto a razão \dfrac{y}{x} é positiva, e \sqrt{\dfrac{y}{x}} está bem definida (raiz principal).
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (família de soluções com constante arbitrária), compatível com o domínio.

Passo 2

Observação sobre o formato da equação (por que escolher uma substituição): a função do lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}. Isso sugere usar a substituição
v=\frac{y}{x}.
Vou explicar bem: definir v(x)=y(x)/x transforma a equação em uma para v que frequentemente é separável. Agora escrevo y em termos de v:
y=vx.

Passo 3

Calcular dy/dx em termos de v e dv/dx. Como y=vx, por derivação do produto:
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Explico: derivando y=v(x)\cdot x usa-se regra do produto; a derivada de v é dv/dx e a de x é 1.

Passo 4

Substituir y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\,dv/dx na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}.
Mas \dfrac{y}{x}=v, logo a equação fica
v + x\frac{dv}{dx} = v + \sqrt{v}.
Agora simplifico: subtraindo v dos dois lados obtém-se
x\frac{dv}{dx} = \sqrt{v}.

Passo 5

Separar variáveis: quero todas as v de um lado e x do outro. Como v>0 (porque y>0 e x>0), posso dividir por \sqrt{v}. Escrevo
\frac{dv}{\sqrt{v}} = \frac{dx}{x}.
Isto é uma equação separável: termos em v à esquerda e termos em x à direita. Lembrete rápido da técnica: integrar ambos os lados fornece uma relação implícita entre v e x.

Passo 6

Integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo usa a primitiva de v^{-1/2}:
\int \frac{dv}{\sqrt{v}} = \int v^{-1/2}\,dv = 2\sqrt{v}.
A integral do lado direito é
\int \frac{dx}{x} = \ln x + C,
onde C é constante arbitrária. Igualando:
2\sqrt{v} = \ln x + C.

Passo 7

Resolver para v e voltar para y. Dividindo por 2:
\sqrt{v} = \frac{1}{2}\ln x + C_1, \qquad C_1=\frac{C}{2}.
Agora elevo ao quadrado (lembrando que \sqrt{v}\ge 0):
v = \left(\frac{1}{2}\ln x + C_1\right)^{2}.
Como v=\dfrac{y}{x}, obtenho a solução geral
y(x) = x\left(\frac{1}{2}\ln x + C_1\right)^{2},
onde C_1\in\mathbb{R} é constante arbitrária. Observação importante sobre domínio: na etapa em que escrevemos \sqrt{v} = \dfrac{1}{2}\ln x + C_1 estamos igualando a raiz principal (não-negativa) a essa expressão; portanto, para uma solução realmente satisfazer a equação original em um intervalo, é necessário que \dfrac{1}{2}\ln x + C_1 \ge 0 nesse intervalo (caso contrário a igualdade com a raiz principal falha). Contudo, a forma final quadrada garante v\ge 0; na prática escolhe-se C_1 e o intervalo de x>0 de modo que a expressão interna seja não-negativa. Além disso, a solução trivial y\equiv 0 existe matematicamente (corresponde a v\equiv 0) mas é incompatível com a exigência y>0 do enunciado, então a descartamos aqui.

Resposta

y(x)=x\left(\frac{1}{2}\ln x + C\right)^{2},\qquad C\in\mathbb{R},
com a ressalva de que, para que a igualdade envolvendo \sqrt{y/x} (raiz principal) seja válida no intervalo considerado, deve ocorrer \dfrac{1}{2}\ln x + C\ge 0 nesse intervalo.

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