Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que se pede:
- A equação relaciona
com . - O domínio é
e , portanto a razão é positiva, e está bem definida (raiz principal). - O objetivo é encontrar a solução geral
(família de soluções com constante arbitrária), compatível com o domínio.
Passo 2
Observação sobre o formato da equação (por que escolher uma substituição): a função do lado direito depende apenas da razão
. Isso sugere usar a substituição
Vou explicar bem: definir
transforma a equação em uma para
que frequentemente é separável. Agora escrevo
em termos de
:
Passo 3
Calcular
em termos de
e
. Como
, por derivação do produto:
Explico: derivando
usa-se regra do produto; a derivada de
é
e a de
é
.
Passo 4
Substituir
e
na equação original:
Mas
, logo a equação fica
Agora simplifico: subtraindo
dos dois lados obtém-se
Passo 5
Separar variáveis: quero todas as
de um lado e
do outro. Como
(porque
e
), posso dividir por
. Escrevo
Isto é uma equação separável: termos em
à esquerda e termos em
à direita. Lembrete rápido da técnica: integrar ambos os lados fornece uma relação implícita entre
e
.
Passo 6
Integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo usa a primitiva de
:
A integral do lado direito é
onde
é constante arbitrária. Igualando:
Passo 7
Resolver para
e voltar para
. Dividindo por
:
Agora elevo ao quadrado (lembrando que
):
Como
, obtenho a solução geral
onde
é constante arbitrária. Observação importante sobre domínio: na etapa em que escrevemos
estamos igualando a raiz principal (não-negativa) a essa expressão; portanto, para uma solução realmente satisfazer a equação original em um intervalo, é necessário que
nesse intervalo (caso contrário a igualdade com a raiz principal falha). Contudo, a forma final quadrada garante
; na prática escolhe-se
e o intervalo de
de modo que a expressão interna seja não-negativa. Além disso, a solução trivial
existe matematicamente (corresponde a
) mas é incompatível com a exigência
do enunciado, então a descartamos aqui.
Resposta
com a ressalva de que, para que a igualdade envolvendo
(raiz principal) seja válida no intervalo considerado, deve ocorrer
nesse intervalo.