Resolva, em R, as seguintes equações exponenciais:
2^{x+1}+2^{x}+5=101

Passo 1

O enunciado pede: resolver, em \mathbb{R}, a equação
2^{x+1}+2^{x}+5=101.
Informações dadas:
  • Temos uma equação exponencial com base 2.
  • O objetivo é encontrar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Relembrando uma propriedade básica de potências que vamos usar: para qualquer base positiva a e quaisquer expoentes m,n vale
a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}.
Aplicando isso aqui, podemos reescrever 2^{x+1} como 2^{x}\cdot 2^{1}=2\cdot 2^{x}. Essa observação permite tratar 2^{x} como fator comum nos dois primeiros termos da equação.

Passo 3

Usando a propriedade acima, reescrevemos a equação. Substituindo 2^{x+1}=2\cdot2^{x} obtemos
2\cdot 2^{x}+2^{x}+5=101.
Agora aparece um termo comum 2^{x} nos dois primeiros somandos, então vamos fatorar 2^{x}.

Passo 4

Fatorando 2^{x} nos dois primeiros termos:
(2+1)\cdot 2^{x} + 5 = 101.
Simplificando 2+1:
3\cdot 2^{x} + 5 = 101.

Passo 5

Isolando 2^{x}: subtraímos 5 de ambos os lados e dividimos por 3:
3\cdot 2^{x} = 96, \qquad\Rightarrow\qquad 2^{x} = \frac{96}{3} = 32.

Passo 6

Reconhecer potências de 2: sabemos que 32 é uma potência de 2, pois
32 = 2^{5}.
Assim temos 2^{x}=2^{5}. A função exponencial 2^{x} (com base 2>1) é estritamente crescente, logo é injetora: se 2^{x}=2^{y} então x=y. Aplicando isso aqui dá x=5.

Passo 7

Verificação rápida (substituir x na equação original): com x=5 temos 2^{x+1}=2^{6}=64 e 2^{x}=32, e
64+32+5=101,
ou seja, a igualdade fica verdadeira, confirmando a solução.

Resposta

x=5

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