Resolva em R as seguintes equações:
2 \log _{3}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação com logaritmo
2\log_{3}\!\biggl(\frac{x+1}{x+2}\biggr)=1.
O conteúdo será propriedades de logaritmo e domínio de definição.

Passo 2

Para que \log_{3}\bigl(\tfrac{x+1}{x+2}\bigr) exista, é preciso
\frac{x+1}{x+2}>0.
Isso ocorre quando x+1 e x+2 têm o mesmo sinal, ou seja,
  1. x>-1 e x>-2 x>-1,
  2. x<-1 e x<-2 x<-2.
    Logo, o domínio é
x>-1\quad\text{ou}\quad x<-2.

Passo 3

Dividindo ambos os lados da equação por 2, obtemos
\log_{3}\!\biggl(\frac{x+1}{x+2}\biggr)=\frac12.
Aplicando a definição de logaritmo, passamos para a forma exponencial:
\frac{x+1}{x+2}=3^{\tfrac12}=\sqrt{3}.

Passo 4

Multiplicamos em cruz e isolamos x:
x+1=\sqrt{3}\,(x+2) \quad\Longrightarrow\quad x+1=\sqrt{3}\,x+2\sqrt{3}
x-\sqrt{3}\,x=2\sqrt{3}-1 \quad\Longrightarrow\quad x(1-\sqrt{3})=2\sqrt{3}-1
x=\frac{2\sqrt{3}-1}{1-\sqrt{3}}.

Passo 5

Racionalizando o denominador:
x =\frac{2\sqrt{3}-1}{1-\sqrt{3}}\cdot\frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} =\frac{(2\sqrt{3}-1)(1+\sqrt{3})}{1-3} =\frac{\sqrt{3}+5}{-2} =-\frac{\sqrt{3}+5}{2}.
Como -\tfrac{\sqrt{3}+5}{2}\approx -3,366 e isso está em x<-2, a solução pertence ao domínio.

Resposta

x=-\frac{\sqrt{3}+5}{2}.

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