Resolva em R a seguinte equação:
3^{x-x^{2}}=\frac{1}{3^{2 x}}\

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
3^{x - x^2} = \tfrac{1}{3^{2x}}
Vamos usar a propriedade de funções exponenciais de base fixa: se a>0 e a\neq1, então
a^A = a^B \quad\Longrightarrow\quad A = B.

Passo 2

Reescrevemos o lado direito como potência de base 3:
\tfrac{1}{3^{2x}} = 3^{-2x}.
Assim a equação fica
3^{x - x^2} = 3^{-2x},
e, por igualdade de potências de mesma base, igualamos os expoentes:
x - x^2 = -2x.

Passo 3

Organizamos a equação dos expoentes:
x - x^2 + 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad -x^2 + 3x = 0.
Fatorando o polinômio:
x(-x + 3) = 0.

Passo 4

As raízes do produto são
x = 0 \quad\text{ou}\quad -x + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 3.

Resposta

As soluções em \mathbb{R} são x = 0 e x = 3.

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