Resolva em R as seguintes equações:
\log _{2} \sqrt{2 x+\sqrt{4 x^{2}+1}}=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\log_{2}\sqrt{2x+\sqrt{4x^{2}+1}} \;=\; 1.
O conteúdo que vamos usar é a definição de logaritmo (se \log_{2}A=1 então A=2) e técnicas de manipulação de equações com radicais, cuidando dos domínios.

Passo 2

Da igualdade
\log_{2}\sqrt{2x+\sqrt{4x^{2}+1}} = 1
segue diretamente, por definição de logaritmo, que
\sqrt{2x+\sqrt{4x^{2}+1}} = 2.
Para que isso faça sentido, precisamos ter 2x+\sqrt{4x^{2}+1}\ge0, mas como \sqrt{4x^{2}+1}>|2x|, o somatório é sempre positivo para todo x.

Passo 3

Elevando ao quadrado ambos os lados de \sqrt{2x+\sqrt{4x^{2}+1}} = 2 obtemos
2x + \sqrt{4x^{2}+1} = 4.
Isolamos o radical:
\sqrt{4x^{2}+1} = 4 - 2x.
Aqui ainda vale exigir 4 - 2x \ge 0, ou seja x \le 2.

Passo 4

Novamente elevamos ao quadrado para eliminar o radical:
4x^{2}+1 = (4 - 2x)^{2} = 16 -16x +4x^{2}.
Cancelando 4x^{2} em ambos os lados,
1 = 16 -16x
16x = 15
x = \tfrac{15}{16}.

Passo 5

Verificamos as condições:
  1. x = \tfrac{15}{16}\le 2, ok.
  2. O argumento da raiz interna e da externa permanecem positivos.
  3. O valor encontrado realmente satisfaz a equação original.

Resposta

A única solução em \mathbb{R} é
x = \frac{15}{16}.

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