Resolva em R as seguintes equações:
2-\log _{2}(x-2)=\log _{2} x

Passo 1

O enunciado pede resolver em \mathbb{R} a equação
2 - \log_{2}(x-2) = \log_{2} x.
O conteúdo envolve propriedades de logaritmos (domínio, soma e diferença de logaritmos, e passagem à forma exponencial).

Passo 2

Vamos começar determinando o domínio da expressão. Precisamos que
x-2>0 \quad\text{e}\quad x>0,
isto é, x>2.

Passo 3

Reescrevendo a equação, isolamos o termo \log_{2}(x-2):
2 = \log_{2}x + \log_{2}(x-2).
Aqui usamos que \log_{2}x é movido para o lado direito, invertendo o sinal.

Passo 4

Aplicamos a propriedade de soma de logaritmos e passamos à forma exponencial:
2 = \log_{2}\bigl(x(x-2)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad x(x-2) = 2^2 = 4.
Isso gera a equação quadrática
x^2 - 2x - 4 = 0.

Passo 5

Resolvendo x^2 - 2x - 4 = 0 pela fórmula de Bhaskara, temos
x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}.

Passo 6

Agora verificamos o domínio x>2. Das duas raízes 1-\sqrt{5}<0 e 1+\sqrt{5}>2, apenas
x = 1 + \sqrt{5}
é válida.

Resposta

x = 1 + \sqrt{5}.

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