Resolva em R as seguintes equações:
\log _{2}(x-2)-\log _{2} x=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb R a equação logarítmica
\log_{2}(x-2)\;-\;\log_{2}x\;=\;2
O conteúdo principal aqui é usar propriedades de logaritmos e a conversão para forma exponencial.

Passo 2

Antes de manipular a equação, determinamos o domínio exigido pelos logaritmos:
  1. x-2>0 implica x>2.
  2. x>0.
    No fim, o domínio é
x>2\,.

Passo 3

Aplicamos a propriedade
\log_{2}A \;-\;\log_{2}B \;=\;\log_{2}\!\biggl(\frac{A}{B}\biggr)
com A=x-2 e B=x. A equação vira
\log_{2}\!\Bigl(\tfrac{x-2}{x}\Bigr)\;=\;2.

Passo 4

Passamos para a forma exponencial:
\frac{x-2}{x} \;=\;2^{2} \;=\;4.
Agora resolvemos a equação algébrica:
x-2 = 4x \quad\Longrightarrow\quad -2 = 3x \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Verificamos no domínio x>2: -\tfrac{2}{3} não satisfaz x>2. Logo, não há nenhum x que satisfaça simultaneamente a equação e o domínio.

Resposta

Não há solução em \mathbb R.

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