Resolva em R as seguintes equações:
2-\log _{2}(x-3)=\log _{2}(2 x-4)

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação envolvendo logaritmos
2 - \log_{2}(x-3) \;=\;\log_{2}(2x-4).
O conteúdo é equação logarítmica e precisaremos usar domínio de definição e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Determinar o domínio de definição exige que os argumentos dos logaritmos sejam positivos:
x-3>0 \quad\text{e}\quad 2x-4>0.
Da primeira condição vem x>3 e da segunda x>2. O domínio válido é, portanto, x>3.

Passo 3

Usamos a propriedade de mudança de base de que
2=\log_{2}(4),
logo a equação original fica
\log_{2}(4)\;-\;\log_{2}(x-3) \;=\;\log_{2}(2x-4).
Pela regra de diferença de logaritmos,
\log_{2}(4)-\log_{2}(x-3) =\log_{2}\!\biggl(\frac{4}{\,x-3\,}\biggr).
Então a equação torna-se
\log_{2}\!\biggl(\frac{4}{\,x-3\,}\biggr) =\log_{2}(2x-4).

Passo 4

Como \log_{2}(A)=\log_{2}(B) implica A=B, obtemos a equação algébrica
\frac{4}{\,x-3\,}=2x-4.
Multiplicando ambos os lados por (x-3) resulta
4=(2x-4)(x-3) =2x^2-10x+12.
Reescrevendo em forma padrão,
2x^2-10x+12-4=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2-10x+8=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2-5x+4=0.
Fatorando,
(x-1)(x-4)=0
dá as raízes x=1 ou x=4.

Passo 5

Restam agora verificar quais soluções satisfazem o domínio x>3. A raiz x=1 não satisfaz x>3, mas x=4 satisfaz. Portanto a única solução válida é x=4.

Resposta

4

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