Resolva, em
, as equações abaixo:
d)
d)
Passo 1
O problema pede para resolver, em
, a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
. - Todos os termos são racionais com denominadores
, e . - Precisamos encontrar todos os números reais
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Primeiro passo prático: livrar-nos dos denominadores multiplicando ambos os lados por um múltiplo comum. Escolhemos o mínimo múltiplo comum dos denominadores
,
e
, que é
. Multiplicar por
simplifica as frações sem introduzir decimais.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Passo 3
Agora calculamos cada termo após multiplicar por
:
-
, porque . -
, porque . -
, porque . -
, porque .
Portanto a equação vira
Passo 4
Colocamos tudo num lado para obter a forma padrão de uma equação quadrática
. Subtraindo
de ambos os lados:
Fazendo as contas nos termos em
:
Então temos uma equação quadrática com
,
e
.
Passo 5
Para resolver a quadrática usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Aqui
é o discriminante, e indica quantas soluções reais existem:
- se discriminante
há duas soluções reais distintas, - se discriminante
há uma solução real dupla, - se discriminante
não há soluções reais.
Calculamos o discriminante:
Como
e
, teremos duas soluções reais distintas.
Agora aplicamos a fórmula:
Isso dá as duas possibilidades:
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom na prova para evitar erro de conta):
Para
:
Igual, então
é solução.
Para
:
Também confere, logo
é solução.