Resolva, em \Re, as equações abaixo:
d) \frac{x^{2}}{9}-\frac{x}{2}=\frac{1}{3}+\frac{x}{9}

Passo 1

O problema pede para resolver, em \mathbb{R}, a equação
\frac{x^{2}}{9}-\frac{x}{2}=\frac{1}{3}+\frac{x}{9}.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • Todos os termos são racionais com denominadores 9, 2 e 3.
  • Precisamos encontrar todos os números reais x que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Primeiro passo prático: livrar-nos dos denominadores multiplicando ambos os lados por um múltiplo comum. Escolhemos o mínimo múltiplo comum dos denominadores 9, 2 e 3, que é 18. Multiplicar por 18 simplifica as frações sem introduzir decimais.
Multiplicando ambos os lados por 18 obtemos:
18\left(\frac{x^{2}}{9}-\frac{x}{2}\right)=18\left(\frac{1}{3}+\frac{x}{9}\right).

Passo 3

Agora calculamos cada termo após multiplicar por 18:
  • 18\cdot\frac{x^{2}}{9}=2x^{2}, porque 18/9=2.
  • 18\cdot\left(-\frac{x}{2}\right)=-9x, porque 18/2=9.
  • 18\cdot\frac{1}{3}=6, porque 18/3=6.
  • 18\cdot\frac{x}{9}=2x, porque 18/9=2.
Portanto a equação vira
2x^{2}-9x=6+2x.

Passo 4

Colocamos tudo num lado para obter a forma padrão de uma equação quadrática ax^{2}+bx+c=0. Subtraindo 6+2x de ambos os lados:
2x^{2}-9x-(6+2x)=0.
Fazendo as contas nos termos em x:
2x^{2}-9x-6-2x=0,
2x^{2}-11x-6=0.
Então temos uma equação quadrática com a=2, b=-11 e c=-6.

Passo 5

Para resolver a quadrática usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui b^{2}-4ac é o discriminante, e indica quantas soluções reais existem:
  • se discriminante >0 há duas soluções reais distintas,
  • se discriminante =0 há uma solução real dupla,
  • se discriminante <0 não há soluções reais.
Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-11)^{2}-4\cdot2\cdot(-6)=121+48=169.
Como \Delta=169>0 e \sqrt{169}=13, teremos duas soluções reais distintas.
Agora aplicamos a fórmula:
x=\frac{-(-11)\pm13}{2\cdot2}=\frac{11\pm13}{4}.
Isso dá as duas possibilidades:
x_{1}=\frac{11+13}{4}=\frac{24}{4}=6,
x_{2}=\frac{11-13}{4}=\frac{-2}{4}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom na prova para evitar erro de conta):
Para x=6:
\frac{6^{2}}{9}-\frac{6}{2}=\frac{36}{9}-3=4-3=1,
\frac{1}{3}+\frac{6}{9}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1.
Igual, então x=6 é solução.
Para x=-\tfrac{1}{2}:
\frac{(-\tfrac{1}{2})^{2}}{9}-\frac{-\tfrac{1}{2}}{2}=\frac{\tfrac{1}{4}}{9}+\frac{1}{4}=\frac{1}{36}+\frac{1}{4}=\frac{1+9}{36}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18},
\frac{1}{3}+\frac{-\tfrac{1}{2}}{9}=\frac{1}{3}-\frac{1}{18}=\frac{6-1}{18}=\frac{5}{18}.
Também confere, logo x=-\tfrac{1}{2} é solução.

Resposta

x=6
x=-\tfrac{1}{2}

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