Resolva as recorrências de 2^{a} ordem homogêneas a seguir:
x_{n+2}+5 x_{n+1}+6 x_{n}=0

Passo 1

O enunciado dá a recorrência de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
x_{n+2} + 5\,x_{n+1} + 6\,x_n = 0
e pede a solução geral x_n. Para resolver, usamos o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica correspondente:
r^2 + 5r + 6 = 0
Fatorando, obtemos (r+2)(r+3)=0, logo as raízes são
r_1 = -2 \quad\text{e}\quad r_2 = -3.

Passo 3

Como as raízes r_1 e r_2 são distintas, a solução geral da recorrência é da forma
x_n = C_1\,r_1^n + C_2\,r_2^n.
Substituindo r_1=-2 e r_2=-3, chega-se a
x_n = C_1(-2)^n + C_2(-3)^n,
onde C_1 e C_2 são constantes definidas pelas condições iniciais.

Resposta

x_n = C_1(-2)^n + C_2(-3)^n

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