Uma sequência de números x_{n} é definida por x_{1}=0 e x_{n+1}=3 x_{n}+1, para n \geq 1. Prove que x_{10} é divisível por 11 .

Passo 1

O enunciado define a sequência de recorrência linear
x_{1}=0,\qquad x_{n+1}=3\,x_{n}+1\quad(n\ge1)
e pede para “provar que x_{10} é divisível por 11”. Vamos primeiro obter uma fórmula fechada para x_n e, em seguida, calcular x_{10} e verificar sua divisibilidade por 11.

Passo 2

Para achar a forma explícita, note que procuramos uma solução da forma
x_{n}+C = 3\,(x_{n-1}+C)
escolhendo C tal que o termo constante seja eliminado. Se x_{n+1}=3x_{n}+1, então
(x_{n+1}+C)=3\,(x_{n}+C) \quad\Longrightarrow\quad 3\,C - C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C=\tfrac12.
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x_{n} + \tfrac12 = 3^{\,n-1}\bigl(x_{1}+\tfrac12\bigr) =3^{\,n-1}\cdot\tfrac12 =\frac{3^{\,n-1}}2.
Isso dá a fórmula fechada
x_{n}=\frac{3^{\,n-1}-1}{2}.

Passo 3

Agora calculamos x_{10} pela fórmula:
x_{10}=\frac{3^{\,9}-1}{2} =\frac{19683 - 1}{2} =\frac{19682}{2} =9841.

Passo 4

Verificamos a divisibilidade de 9841 por 11. Fazendo a divisão inteira,
9841\div11=895\text{, resto }6 \quad\Longrightarrow\quad 9841\equiv6\pmod{11},
ou seja, 9841 não é múltiplo de 11.

Resposta

A afirmação de que x_{10} é divisível por 11 é falsa, pois
x_{10}=9841\not\equiv0\pmod{11}.

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