Verifique qual(is) da(s) sequências abaixo é (são) solução (ões) da recorrência linear de 2^{\mathrm{a}} ordem x_{n+2}=6 x_{n+1}-5 x_{n}=2 n+9 ; x_{1}=25 e x_{2}=5.
(i) \quad x_{n}=55-25 n
(ii) \quad x_{n}=25+5^{n}
(iii) \quad x_{n}=30-5^{n}

Passo 1

O enunciado define a recorrência linear não-homogênea de 2ª ordem
x_{n+2}-6x_{n+1}+5x_{n}=2n+9
com condições iniciais
x_{1}=25,\quad x_{2}=5.
Queremos verificar quais das três fórmulas dadas satisfazem ao mesmo tempo a recorrência e as condições iniciais.

Passo 2

Verificamos a sequência (i) x_{n}=55-25n.
– Condições iniciais:
x_{1}=55-25\cdot1=30\neq25,
logo já falha em x_{1}.
– Mesmo assim, para conferir a recorrência, calculamos
x_{n+2}=55-25(n+2)=5-25n, \qquad x_{n+1}=55-25(n+1)=30-25n.
Então
x_{n+2}-6x_{n+1}+5x_{n} =(5-25n)-6(30-25n)+5(55-25n) =100\neq2n+9.
Portanto (i) não é solução.

Passo 3

Verificamos a sequência (ii) x_{n}=25+5^{n}.
– Condições iniciais:
x_{1}=25+5=30\neq25,
já falha.
– Para a recorrência,
x_{n+2}=25+5^{n+2},\quad x_{n+1}=25+5^{n+1},
x_{n+2}-6x_{n+1}+5x_{n} =(25+5^{n+2})-6(25+5^{n+1})+5(25+5^{n}) =0\neq2n+9.
Logo (ii) também não é solução.

Passo 4

Verificamos a sequência (iii) x_{n}=30-5^{n}.
– Condições iniciais:
x_{1}=30-5=25,\quad x_{2}=30-25=5,
são satisfeitas.
– Porém,
x_{n+2}=30-5^{n+2},\quad x_{n+1}=30-5^{n+1},
x_{n+2}-6x_{n+1}+5x_{n} =(30-5^{n+2})-6(30-5^{n+1})+5(30-5^{n}) =0\neq2n+9.
Portanto falha em satisfazer a parte não-homogênea.

Resposta

Nenhuma das sequências dadas é solução da recorrência com as condições iniciais.

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