Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}+5 x_{n+1}+6 x_{n}=0 ; \quad x_{0}=3 ; \quad x_{1}=-6.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
x_{n+2} + 5x_{n+1} + 6x_{n} = 0
sujeita às condições iniciais x_{0}=3 e x_{1}=-6. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Montamos a equação característica associada à recorrência:
r^2 + 5r + 6 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes r_{1}=-2 e r_{2}=-3.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da recorrência é da forma
x_{n} = A\bigl(-2\bigr)^{n} + B\bigl(-3\bigr)^{n},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicamos n=0 e n=1 para montar o sistema:
\begin{cases} x_{0}=A + B = 3,\\[6pt] x_{1} = A(-2) + B(-3) = -6. \end{cases}]

Passo 5

Do primeiro A + B = 3 vem A = 3 - B. Substituindo no segundo:
-2(3 - B) - 3B = -6 \;\Longrightarrow\; -6 + 2B - 3B = -6 \;\Longrightarrow\; -B = 0 \;\Longrightarrow\; B = 0,
logo A = 3.

Resposta

A solução da recorrência é
\boxed{x_{n} = 3\,(-2)^{n}}.

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