Resolva s seguintes problemas de valor inicial
(d) y^prime prime-k^2 y=0, com k neq 0, y(0)=1 e y^prime(0)=1

Passo 1

Temos a EDO de segunda ordem y''-k^2y=0 com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. O conteúdo aqui é resolução de equações diferenciais lineares de ordem 2 com coeficientes constantes usando a equação característica.

Passo 2

Escrevendo a equação característica associada:
r^2 - k^2 = 0

Passo 3

Isso dá raízes
r = k e r = -k

Passo 4

Logo, a solução geral é
y(x) = A e^kx + B e^-kx

Passo 5

Agora derivamos para aplicar a condição em y'(0):
y'(x) = A k e^kx - B k e^-kx

Passo 6

Em x=0 temos o sistema
A + B = 1,
k(A - B) = 1

Passo 7

Resolvendo-o, temos que
A - B = 1k,
somando com A+B=1 resulta em
A = 1 + tfrac1k2 = k+12k,
e então
B = 1 - A = k-12k

Passo 8

Substituindo em y(x) obtemos a solução particular.

Resposta

y(x)=k+12ke^kx+k-12ke^-kx, que também pode ser escrita como y(x)=cosh(kx)+1ksinh(kx)

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