Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
(d) y^(4)-4 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=-2, y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y^(4)(t) - 4y(t) = 0 com condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0, y''(0)=-2 e y'''(0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace, que converte a EDO em uma equação algébrica em s.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Para derivadas de ordem 4, usamos a fórmula
Ly^(4)(t) = s^4 Y(s) - s^3 y(0) - s^2 y'(0) - s,y''(0) - y'''(0)
Logo, a transformada da EDO é
s^4 Y(s) - s^3 y(0) - s^2 y'(0) - s,y''(0) - y'''(0) - 4Y(s) = 0

Passo 3

Substituímos as condições iniciais na expressão acima e isolamos Y(s):
s^4 Y(s) - s^3cdot 1 - s^2cdot 0 - scdot(-2) - 0 - 4Y(s) = 0
implies (s^4-4)Y(s) = s^3 - 2s
implies Y(s) = s^3 - 2ss^4 - 4

Passo 4

Observamos que o numerador e o denominador podem ser fatorados:
s^3 - 2s = s(s^2 - 2), s^4 - 4 = (s^2 - 2)(s^2 + 2)
Isso permite cancelar s^2 - 2 e obter
Y(s) = ss^2 + 2

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa de Laplace. Como
L^-1lss^2 + 2r = cosl(raiz2,tr),
concluímos que
y(t) = cosl(raiz2,tr)

Resposta

y(t) = cos(raiz2,t)

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