Resolva as seguintes equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.
© y^prime prime+2 y^prime-5 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y'' + 2y' - 5y = 0. Vamos usar o método da equação característica, substituindo y = e^rx para encontrar um polinômio em r.

Passo 2

Substituindo y = e^rx e suas derivadas y' = r e^rx e y'' = r^2 e^rx na equação y'' + 2y' - 5y = 0 e dividindo por e^rx, obtemos a equação característica
r^2 + 2r - 5 = 0

Passo 3

Para resolver r^2 + 2r - 5 = 0, aplicamos a fórmula de Bhaskara. Calculamos o discriminante
De

Passo 4

As raízes são
r = -2 pm raiz242 = -2 pm 2raiz62 = -1 pm raiz6

Passo 5

Como as raízes r1 = -1 + raiz6 e r2 = -1 - raiz6 são reais e distintas, a solução geral é dada por
y(x) = C1 e^(-1 + raiz6)x + C2 e^(-1 - raiz6)x, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 e^{(-1 + \sqrt{6})x} + C_2 e^{(-1 - \sqrt{6})x}

Exercícios relacionados