Resolva as seguintes equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Vamos usar a técnica da equação característica para encontrar a solução geral.
Passo 2
Para construir a equação característica, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na diferencial obtemos
Como
nunca é zero, podemos dividir por ele, gerando a equação característica
Passo 3
A equação característica é
Agora vamos calcular o discriminante
para identificar as raízes
Passo 4
Calculando o discriminante temos
Como
, a equação característica tem uma raiz dupla
Passo 5
A raiz é dada por
Para raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é
Substituindo
obtemos a resposta final