Resolva as seguintes equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.
(i) 9 y^prime prime-30 y^prime+25 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9y''-30y'+25y=0
Vamos usar a técnica da equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Para construir a equação característica, assumimos uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na diferencial obtemos
9r^2e^rx-30re^rx+25e^rx=0
Como e^rx nunca é zero, podemos dividir por ele, gerando a equação característica

Passo 3

A equação característica é
9r^2-30r+25=0
Agora vamos calcular o discriminante De para identificar as raízes

Passo 4

Calculando o discriminante temos
De
Como De, a equação característica tem uma raiz dupla

Passo 5

A raiz é dada por
r=-b2a=302cdot9=53
Para raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é
y(x)=(C1+C2x)e^rx
Substituindo r=5/3 obtemos a resposta final

Resposta

y(x)=C1e^53x+C2x,e^53x

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