Resolva s seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime-k^2 y=0, com k neq 0, y(0)=1 e y^prime(0)=1

Passo 1

O exercício pede pra resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes y''-k^2y=0, onde kneq0, sujeita a y(0)=1 e y'(0)=1. O conteúdo aqui é solução de EDOs lineares usando equação característica.

Passo 2

Para achar a solução geral, escrevemos a equação característica associada:
r^2 - k^2 = 0
Isso dá as raízes r=pm k. Logo, a solução geral é da forma
y(t) = A e^kt + B e^-kt

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1:
y(0)=A+B=1

Passo 4

Em seguida, derivamos y(t) e aplicamos y'(0)=1:
y'(t)=kA e^kt - kB e^-kt
y'(0)=kA - kB=1 implies A - B = tfrac1k

Passo 5

Temos então o sistema em A e B:
A + B = 1, A - B = tfrac1k

Passo 6

Somando as duas equações, 2A = 1 + tfrac1k então A=tfrac12(1+tfrac1k). Subtraindo, 2B = 1 - tfrac1k e B=tfrac12(1-tfrac1k).

Passo 7

Finalmente, substituindo em y(t)=A e^kt+B e^-kt e reorganizando em funções hiperbólicas, obtemos
y(t)=cosh(kt)+1ksinh(kt)

Resposta

y(t)=cosh(kt)+tfrac1ksinh(kt)

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