Resolva s seguintes problemas de valor inicial
e
Passo 1
No enunciado a gente tem um problema de valor inicial para uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
– Equação:
– Condições iniciais: e
– Condições iniciais:
Para resolver, vamos usar a técnica da equação característica para achar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro a gente monta a equação característica associada a
. Substituímos
, o que dá:
Essa é uma equação quadrática em
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Logo as raízes são
e
.
Passo 3
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Agora calculamos a derivada de
:
Aplicando as condições iniciais em
:
Isso forma o sistema linear:
Passo 5
Para resolver o sistema, multiplica a segunda equação por 2:
Somando essa equação à primeira (que é
) a gente elimina
:
Substituindo em
dá
, logo
. Assim a solução particular é