Resolva s seguintes problemas de valor inicial
4 y^prime prime-4 y^prime-3 y=0, y(-2)=e e y^prime(-2)=-e / 2

Passo 1

No enunciado a gente tem um problema de valor inicial para uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
– Equação: 4y''-4y'-3y=0
– Condições iniciais: y(-2)=e e y'(-2)=-e/2
Para resolver, vamos usar a técnica da equação característica para achar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro a gente monta a equação característica associada a 4y''-4y'-3y=0. Substituímos y=e^rt, o que dá:
4r^2-4r-3=0
Essa é uma equação quadrática em r. Usando a fórmula de Bhaskara:
r=4pmraiz(-4)^2-4cdot4cdot(-3)2cdot4=4pmraiz16+488=4pm88
Logo as raízes são r1=3/2 e r2=-1/2.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(t)=C1e^(3/2)t+C2e^-(1/2)t,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 4

Agora calculamos a derivada de y(t):
y'(t)=32C1e^(3/2)t-12C2e^-(1/2)t
Aplicando as condições iniciais em t=-2:
  1. y(-2)=C1e^-3+C2e^1=e
  2. y'(-2)=32C1e^-3-12C2e^1=- e2
Isso forma o sistema linear:
C1e^-3+C2e=e, tfrac32C1e^-3-tfrac12C2e=-tfrac e2

Passo 5

Para resolver o sistema, multiplica a segunda equação por 2:
3C1e^-3-C2e=-e
Somando essa equação à primeira (que é C1e^-3+C2e=e) a gente elimina C2:
l(3C1e^-3-C2er)+l(C1e^-3+C2er)= -e+eimplies 4C1e^-3=0implies C1=0
Substituindo em C1e^-3+C2e=e C2e=e, logo C2=1. Assim a solução particular é
y(t)=e^-(1/2)t

Resposta

y(t)=e^-t/2

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