Resolva s seguintes problemas de valor inicial
(a) y^prime prime+25 y=0, y(0)=5 e y^prime(0)=1

Passo 1

O problema é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, dada por
y'' + 25y = 0
com condições iniciais y(0)=5 e y'(0)=1. Vamos usar a técnica da equação característica para resolver.

Passo 2

Assumindo uma solução do tipo y=e^rt, a equação característica fica
r^2 + 25 = 0
que tem raízes
r = pm 5i
Essas raízes complexas conjugadas indicam que a solução geral será uma combinação de cosseno e seno.

Passo 3

A solução geral da EDO é
y(t) = Acos(5t) + Bsin(5t)
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos a derivada
y'(t) = -5Asin(5t) + 5Bcos(5t)
Agora aplicamos as condições iniciais:
Para t=0:
  • y(0)=A=5
  • y'(0)=5B=1 B=tfrac15.

Passo 5

Substituindo A=5 e B=tfrac15 na solução geral, obtemos a solução específica que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t) = 5cos(5t) + tfrac15sin(5t)

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