Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
(b)
onde
(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO com Laplace: temos
onde
Vamos usar transformada de Laplace e o teorema do deslocamento para funções descontínuas.
Passo 2
Aplicando a transformada em ambos os lados e usando condições iniciais nulas, obtemos
onde
Calculando a integral por partes:
Passo 3
Logo
Vamos inverter cada parcela separadamente.
Passo 4
Primeiro termo: fazemos frações parciais em
Assim
Passo 5
Segundo termo sem o fator de deslocamento é
Já sabemos
Somando,
Passo 6
Agora aplicamos o teorema do deslocamento: multiplica-se por
em
e a inversa é
Passo 7
Finalmente
Em forma de parte por parte, fica bem claro.