Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
(b) y^prime prime+y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=0 onde g(t)= t, & 0 <= t<1 0, & 1 <= t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO com Laplace: temos
y''+y=g(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde
g(t)=t,&0<= t<1,0,&t>=1
Vamos usar transformada de Laplace e o teorema do deslocamento para funções descontínuas.

Passo 2

Aplicando a transformada em ambos os lados e usando condições iniciais nulas, obtemos
(s^2+1)Y(s)=G(s),
onde
G(s)=integral0^1t,e^-st,dt
Calculando a integral por partes:
G(s)=[-tse^-st-1s^2e^-st]0^1=1s^2-e^-sl(1s+1s^2r)

Passo 3

Logo
Y(s)=G(s)s^2+1=1s^2(s^2+1)-e^-s1s+1s^2s^2+1
Vamos inverter cada parcela separadamente.

Passo 4

Primeiro termo: fazemos frações parciais em
1s^2(s^2+1)=1s^2-1s^2+1
Assim
y1(t)= L^-1l[tfrac1s^2(s^2+1)r]=t-sin t

Passo 5

Segundo termo sem o fator de deslocamento é
1s+1s^2s^2+1=1s(s^2+1)+1s^2(s^2+1)
Já sabemos
L^-1l[tfrac1s(s^2+1)r]=1-cos t, L^-1l[tfrac1s^2(s^2+1)r]=t-sin t
Somando,
y0(t)=1-cos t+t-sin t=(t+1)-(cos t+sin t)

Passo 6

Agora aplicamos o teorema do deslocamento: multiplica-se por e^-s em Y(s) e a inversa é
y2(t)=u(t-1),y0(t-1) = u(t-1)l[(t-1+1)-(cos(t-1)+sin(t-1))r] =u(t-1)l[t-(cos(t-1)+sin(t-1))r]

Passo 7

Finalmente
y(t)=y1(t)-y2(t) =(t-sin t)-u(t-1)l[t-(cos(t-1)+sin(t-1))r]
Em forma de parte por parte, fica bem claro.

Resposta

y(t)= t-sin t,&0<= t<1, cos(t-1)+sin(t-1)-sin t,&t>=1

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