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Resolva s seguintes problemas de valor inicial
(a) y^prime prime+25 y=0, y(0)=5 e y^prime(0)=1

Passo 1

O problema consiste em resolver a EDO de segunda ordem y'' + 25y = 0 com condições iniciais y(0)=5 e y'(0)=1. Esse é um caso de equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes; vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO:
r^2 + 25 = 0

Passo 3

Cuja solução são raízes complexas r = pm 5i.

Passo 4

Como as raízes são alpha pm ibeta com alpha=0 e beta=5, a solução geral é
y(x) = C1cos(5x) + C2sin(5x).

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, y(0)=5
y(0)=C1=5

Passo 6

Em seguida, derivamos y'(x) = -5C1sin(5x) + 5C2cos(5x) e usamos y'(0)=1:
y'(0)=5C2 = 1 implies C2 = 15

Resposta

y(x) = 5cos(5x) + 15sin(5x)

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