Seja E é um campo elétrico. A integral de superfície
integral duplaS E cdot d S
representa o fluxo elétrico de E através da superfície S . Uma importante lei da eletrostática, a Lei de Gauss, diz que a carga total englobada por uma superfície S é
Q=varepsilon0 integral duplaS E d S
onde varepsilon0 é uma constante (denominada permissividade no vácuo) que depende das unidades usadas (no sistema SI, varepsilon0 approx 8,8542 times 10^-12 C^2 / N times m^2 ). Se S é o limite da região sólida E delimitada pelo paraboloide z=1-x^2-y^2 e o plano z=0, calcule carga envolvida por S se o campo elétrico é dado por F(x, y, z)=y i+x j+z k.

Passo 1

O enunciado pede a carga total envolvida pela superfície fechada S, que é formada pelo paraboloide z=1−x²−y² e o plano z=0, quando o campo elétrico é F(x,y,z)=y i + x j + z k. O conteúdo principal é a Lei de Gauss (ou Teorema da Divergência) que diz que o fluxo de F pela superfície S é igual ao volume integral da divergência de F sobre a região E interna a S, e a carga é Q=ε₀ vezes esse fluxo.

Passo 2

Para usar o Teorema da Divergência, calculamos a divergência de F:
nablacdotF=partialpartial x(y)+partialpartial y(x)+partialpartial z(z)=0+0+1=1

Passo 3

Aplicamos então o Teorema da Divergência:
integral duplaSFcdot dS=integral triplaE(nablacdotF),dV=integral triplaE1,dV=Volume(E)
O sólido E é o volume sob o paraboloide z=1−r² acima de z=0, em coordenadas polares (r,θ):
Volume=integral0^2piintegral0^1(1-r^2),r,dr,dtheta =2piintegral0^1(r-r^3),dr =2pil[tfrac12-tfrac14r] =pi2

Passo 4

Finalmente, pela Lei de Gauss, a carga é Q=ε₀ vezes esse fluxo, ou seja Q=ε₀·(π/2).

Resposta

Q=\frac{\varepsilon_{0},\pi}{2}

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