Seja
é um campo elétrico. A integral de superfície
representa o fluxo elétrico de E através da superfície S . Uma importante lei da eletrostática, a Lei de Gauss, diz que a carga total englobada por uma superfície S é
onde
é uma constante (denominada permissividade no vácuo) que depende das unidades usadas (no sistema SI,
). Se
é o limite da região sólida
delimitada pelo paraboloide
e o plano
, calcule carga envolvida por
se o campo elétrico é dado por
.
Passo 1
O enunciado pede a carga total envolvida pela superfície fechada S, que é formada pelo paraboloide z=1−x²−y² e o plano z=0, quando o campo elétrico é F(x,y,z)=y i + x j + z k. O conteúdo principal é a Lei de Gauss (ou Teorema da Divergência) que diz que o fluxo de F pela superfície S é igual ao volume integral da divergência de F sobre a região E interna a S, e a carga é Q=ε₀ vezes esse fluxo.
Passo 2
Para usar o Teorema da Divergência, calculamos a divergência de F:
Passo 3
Aplicamos então o Teorema da Divergência:
O sólido E é o volume sob o paraboloide z=1−r² acima de z=0, em coordenadas polares (r,θ):
Passo 4
Finalmente, pela Lei de Gauss, a carga é Q=ε₀ vezes esse fluxo, ou seja Q=ε₀·(π/2).
Resposta
Q=\frac{\varepsilon_{0},\pi}{2}